2.2.2 椭圆的几何性质6.doc

椭圆中的焦点三角形一、 建构数学1.定义：椭圆上任意一点(异于长轴端点)与椭圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三角形.2.焦点三角形构成要素之间的关系以椭圆方程为为例，两焦点分别为椭圆上任意一点为P，设焦点三角形 ①焦点三角形的构成：三边：两条焦半径 ，焦距，三角：设 .②构成要素的关系：其中一边为焦距，另两边的和. 二、性质探究性质1：焦点三角形的周长为 性质2：椭圆的离心率与边的关系 椭圆的离心率与角的关系证明：由正弦定理得，由等比定理得：而，∴例1．设椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，. 求证：的面积.证明：性质3：焦点三角形的面积为巩固练习：若P为椭圆上的一点，为椭圆的左右焦点，若，求点P到x轴的距离.解：设点P到x轴的距离为h，，又，所以例2.已知椭圆的左、右焦点,在椭圆上找一点P,使最大,并求出这个最大角的余弦值.证明：在中，由余弦定理得：当且仅当,即点P位于短轴端点处等号成立. 所以当P在短轴端点处时最大，此刻.(或)师：结合性质3中的面积公式，你还能得出什么结论吗？生：当最大时，由面积公式可知，焦点三角形的面积也达到最大.所以焦点三角形的面积最大时，P在短轴的端点处.师：很好！我们也可以用另外一个面积公式：×底×高.这里底是，高是点P的纵坐标的绝对值，当P点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，所以在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值.性质4：焦点三角形中，(或)性质5：焦点三角形中，若最大，则点P为椭圆短轴的端点，此时焦点三角形的面积最大巩固练习：若是椭圆的两焦点, 椭圆上存在一点，使得,求椭圆离心率的范围.解：，即，所以三、提炼升华例3.椭圆的焦点为,P为其上的动点,当为钝角时,求点P的横坐标的取值范围.解法1（余弦定理）：已知，由余弦定理得：，为钝角，解得：解法2（余弦定理）：因为钝角,则在中有 (＊)易知,则.设点P的横坐标为,则由焦半径公式,得又,将上面三个式子代入(＊)式,解得解法3（向量）：由题意，设，则.因为为钝角，所以，即则有，又点P在椭圆上，则，两式联立消去得到变式训练1：若为直角呢？为锐角呢？师：这题的解法还是很多的.如果我们把问题变成为直角或者锐角呢？也可以类似上述解法进行处理.这类问题我们还可以从几何角度来看，如果是直角的话，点P就在以原点为圆心，为直径的圆上，圆方程为.又点P在椭圆上，联立得.①是直角，则点P在圆和椭圆的四个交点位置，所以点P的横坐标.②为锐角，则点P就在圆外，则点P在圆外的椭圆部分，所以点P的横坐标范围为或.③为钝角，则点P就在圆内，则点P在圆内的椭圆部分，所以点P的横坐标范围为.变式训练2：是椭圆的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：由上面的研究知点P有4个.变式训练3:是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，满足的点P的个数有多少？解：点P在以原点为圆心，为直径的圆上，圆方程为.又点P在椭圆上，联立得，则点P在短轴的端点，有2个.总结：是椭圆方程为的焦点，点P在椭圆上，探究满足的点P的个数？研究方法1：由上面的研究可知，点P满足，则P在以原点为圆心，为直径的圆上，方程为.点P的个数是由圆方程与椭圆方程的交点个数决定的.而，圆与椭圆的交点个数就取决与的大小关系.①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个研究方法2：由性质4、5知，焦点三角形中，当点P在短轴端点时，最大，此时.可以计算的值，从而找到的最大值，若最大值大于90度，则由对称性知，有4个点；若最大值等于90度，则有2个点；若最大值小于90度，则有0个点.①时，点P个数为0个②时，点P个数为2个③时，点P个数为4个两种研究方法的结论是一致的，只是研究的角度不同而已.四、 回顾总结。