职业中专第一册数学总复习.ppt

—数学总复习教师：姚君秋教师：姚君秋：：1395146864513951468645：：7836615777836615772021/3/111第一章：方程与不等式第一章：方程与不等式1数的基本知识1.数的分类实数（集）（R）有理数（集）无理数（集）整数负分数（集）（集）正整数零负整数（集）（Q）（Z）（N+、N*）负正分数自然数 （集）（N）2021/3/1122.倒数与相反数的概念相反数:倒数:乘积是1的两个数互为倒数倒数只有符号不同的两个数互为相反数相反数1的倒数是什么？0有没有倒数？1没有没有3.数轴与数规定了原点、正方向原点、正方向和单位长度单位长度的直线叫做数轴2021/3/1134.绝对值几何定义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离,数a 的绝对值记作|a|.代数定义:①一个正数正数的绝对值是它它本身本身.②一个负数负数的绝对值是它的相反数它的相反数.③零零的绝对值等于零零.2021/3/114数的乘方数的乘方2021/3/115数的开方数的开方平方根平方根立方根立方根n次方根次方根2021/3/116整式的运算整式的运算常用乘法公式常用乘法公式平方差公式：平方差公式：完全平方公式：完全平方公式：2021/3/117因式分解方法与步骤：分组分解法提取公因式公式法（乘法公式的逆运算）配方法十字相乘法2021/3/118分式的运算分式的运算2021/3/119一元一次方程一元一次方程2021/3/1110例子：2021/3/1111二元一次方程组二元一次方程组2021/3/1112例子2021/3/11132021/3/1114一元二次方程一元二次方程2021/3/11152021/3/1116一元一次不等式一元一次不等式2021/3/11172021/3/1118一元一次不等式组一元一次不等式组2021/3/1119用数轴表示不等式组的解2021/3/1120一元二次不等式的概念及解法不等式中只含有一个未知数，且最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式.他的一般形式是一元二次不等式与一元二次函数的关系及解法如下表2021/3/11212021/3/1122第二章第二章 集集 合合一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集），用大写字母A、B、C……表示。

集合中的每个对象都称为这个集合的元素用小写字母a、b、c……表示若a是集合A的元素就说a属于A，记作a∈A，否则a A集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性集合与元素的关系 属于、不属于2021/3/1123  集合的分类 空集与数集空集：不含任何元素的集合，记作，如方程x2+1=0的解集为ø数集：以数为元素的集合常用数集 详见第一章数的分类数的分类2021/3/11242021/3/11252021/3/11262021/3/1127一、交集一、交集二、并集二、并集2021/3/1128三、补集三、补集2021/3/11292021/3/11302021/3/1131第三章  函数在某一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个实数集合D中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它相对应，那么我们就说y是x的函数（function），记作y=f(x),x∈D 其中，x称为自变量，x的取值范围（即集合D）称为函数的定定义域域（domain），与x的值相对应的y的值称为函数值，当x取遍D中所有值时，所得到的函数值y的集合称为函数的值域域（range）．2021/3/11321、函数的两大要素、函数的两大要素2、求函数的定义域的方法、求函数的定义域的方法 y = 2x2-3x+12021/3/1133函数三种表示方法：函数三种表示方法：解析法、列表法、图像法2021/3/1134一、偶函数：一、偶函数：定义域关于原点对称对称 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 x∈D，都有 f（（ - x））= f（（x）），则称y=f（x）为 偶 函数，如y=x2为偶函数。

二、奇函数二、奇函数：：定义域关于原点对称对称 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，如果对于任意的 x∈D，都有 f（（ - x））= - f（（x）），则称 y=f（x）为 奇 函数，如 y= 三、非奇非偶函数三、非奇非偶函数：：定义域关于原点不对称不对称如果一个函数既非奇函数，又非偶函数，则 称为非奇非偶函数.2021/3/1135小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤小结：根据定义讨论函数的奇偶性的步骤第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于第一步，求函数的定义域并判断定义域是否关于X X轴对称轴对称；；第二步，若第二步，若定义域关于定义域关于X X轴对称，则判断轴对称，则判断f（（ - x）值，）值，若若对于任意的 x∈D，都有 f（（ - x））= f（（x）），则称y=f（x）为 偶 函数，如y=x2若若对于任意的 x∈D，都有 f（（ - x））= - f（（x）），则称 y=f（x）为 奇 函数，如 y= 若若定义域关于定义域关于X X轴不对称，则为轴不对称，则为非奇非偶函数第三步，第三步，写出结论写出结论2021/3/1136增函数、减函数增函数、减函数一般地，设函数 y=f(x) 的定义域上某个区间为I：如果对于任意的x1，x2∈I，当x1

如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，如90°角与180°角不属于任何一个象限2021/3/1154在在0°~360°范围内范围内, 表示各象限角的范围表示各象限角的范围.2021/3/1155　 在同一直角坐标系中, 画出30°、、390°、、750°、、-330°角，并寻找它们的共同点30°=30°+0×360°390°=30°+1×360°750°=30°+2×360°-330°=30°+(-1)×360°小结： 共同点是所有所有角的终边相同角的终边相同, 可以用β=30°+k·360°，k∈z表示.2021/3/1156终边相同的角的表示终边相同的角的表示:一般地，与α角终边相同的角（含α在内的一般表达式为β=α+k·360°，k∈z用集合表示为 {β|β=α+k·360°，k∈z }思考：第一象限的角的集合如何表示？{α| 0°+k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈z }2021/3/1157定义: 长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角. 用弧度作为单位来度量角和单位制称为弧度制.图4—6在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角的大小是|α|= rad.2021/3/1158角度与弧度的换算角度与弧度的换算360°=2πrad.180°=πrad.1 rad= =57.3°注: 弧度单位通常忽略不写.用弧度制表示下列各角： 60°，-270°.例2　把下列各角用角度制表示：       ，        .2021/3/1159在直角三角形中，如图所示。

∠M是直角，锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有sinα= cosα= tanα= 在直角坐标中，如图所示2021/3/1160       在锐角α的终边上任取一点P（原点除外），过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM，设点P的坐标为（x,y）则角α的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r，其中r= （r＞0）由此得到sinα= cosα= tanα= 推广到任意角就有任意角的三角函数2021/3/1161如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设P的坐标为（x,y）OP=r,则r= （r＞0）图4—112021/3/1162sinα= 称为角α的正弦cosα= 称为角α的余弦tanα= 称为角α的正切2021/3/1163特殊角的三角函数的值.2021/3/1164   根据任意角的三角函数的定义，我们知道，角α的终边上点P坐标值的符号决定了角α的三角函数的符号．各三角函数在各个象限的符号列表如下：记忆口诀：一正二正弦，三正切四余弦一正二正弦，三正切四余弦.含义：第第一一象象限限全全为为正正，，第第二二象象限限除除正正弦弦为为正正外外，，其其余余均均为为负负，第第三三象象限限除除正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负正切为正外，其余均为负，第四象限除余弦为正外，其余均为负2021/3/1165同角三角函数的基本关系2021/3/1166诱导公式诱导公式sin(2kπ+α)=sinα,k∈Zcos(2kπ+α)=cosα,k∈Z (公式一）tan(2kπ+α)=tanα,k∈Z公式作用公式作用：将任意角的三角函数化为［0，2π］内的角的三角函数。

一、有关一、有关α+ 2kπ（（k∈ ∈z）的诱导公式）的诱导公式二、有关二、有关-α的诱导公式的诱导公式例如：sin1 500°=sin (4×360°+60°)= sin60°sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα(公式二）tan(-α)=-tanα公式作用公式作用：将负角的三角函数化为正角的三角函数例如：例如：sin (-30°)2021/3/1167角-α与角α的终边关于x轴对称      证明：由图4—16可知角-α与角α的终边关于x轴对称，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设P的坐标为（x，y），则P′（x，-y）必在角-α的终边上，且OP′=1图4—162021/3/1168三、有关三、有关-α的诱导公式的诱导公式sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosα(公式三）tan(2π-α)=-tanα公式作用公式作用：将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数sin(π+α) =-sinαcos(π+α) =-cosα(公式四）tan(π+α) =tanα四、四、π±α的三角函数的简化公式的三角函数的简化公式sin(π-α) =sinαcos(π-α) =-cosα (公式五）tan(π-α) =-tanα2021/3/1169证明公式四图4—17 证明.将任意角α的终边按逆时针旋转π弧度，就得到π±α的终边，显然角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，在角α终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则P′（-x，-y）必在角π＋α的终边上，且OP′=1，所以2021/3/1170求下列各三角函数的值：(1)sin 　　　　　（2）cos135°　　　　　（3）tan 小结：求任意角的三角函数的步骤2021/3/1171正弦函数正弦函数y=sinx的图像与性质的图像与性质正弦函数y=sinx的图像先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π]上的图像.由于sin（2kπ+x）=sinx,k∈z.所以y=sinx在区间[2kπ, 2kπ+2π]上的图像与在区间[0，2π]上的图像形状完全一样，只要将y=sinx在[0,2π]的图像向左向右平移即可.2021/3/1172正弦函数y=sinx的性质（1）定义域 R（2）值域 [-1，1] x= +2kπ(k∈z) ymax =1 x= +2kπ(k∈z) ymin=-1（3）周期性 T=2π最小正周期（4）奇偶性 奇函数（5）单调性 在区间[2kπ- ，2kπ+ ]内单调递增，区间 [2kπ+ ，2kπ+ ]内单调递减（6）与x轴主点 x=kπk∈z2021/3/1173用五点法画出函数用五点法画出函数 y＝＝sinx+1 在［在［0，，2π］上的简图］上的简图.分分析析　　比比较较函函数数y＝＝sinx+1和和函函数数y＝＝sinx可可以以看看出出，，对对同同一一个个x值值，，函函数数y＝＝sinx+1的的值值比比函函数数y＝＝sinx的的值值大大1.所以，函数所以，函数y＝＝sinx+1的图像与函数的图像与函数y＝＝sinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同.2021/3/1174已知函数y=-2sinx．（1）用五点法画出这个函数在一个周期0，2π］上的图像．（2）求出它的最大值和最小值．（3）判断它的奇偶性．（4）指出这个函数在［0,2π］上的单调区间．解　（1）列表：2021/3/1175描点，连线得到函数y=-2sinx在一个周期［0，2π］上的图像，如图4—23所示．（2）根据函数的图像和函数的周期性，可知当x=2kπ+ (k∈Z)时，函数有最大值，ymax=2；当x=2kπ+ (k∈Z)时，函数有最小值，ymin=-2．（3）函数f (x)=-2sinx的定义域为R．因为f (-x)=-2sin(-x)=2sinx=-f(x)所以这个函数是奇函数．（4）根据图像，可知这个函数在[0,2π］上的单调增区间为［ ， ］，单调减区间为［0， ］和［ ，2π］．2021/3/1176余弦函数余弦函数y=cosx的图像与性质的图像与性质余弦函数y=cosx的图像先用描点法画出y=cosx在[0，2π]内的图像曲线可由y=cosx 在[0，2π]内图像向右、向左平移2kπ(k∈z)个单位得到y=cosx x∈[0,2π]由五个关键点确定图像形状。

0，1），（ ，0），（π，-1），（ ，0），（2π，1）2021/3/1177余弦函数y=cosx的性质（1）定义域 R（2）值域 [-1，1] x=2kπ(k∈z)时，ymax=1，x=（2k+1）π　(k∈z)时ymin=-1（3）周期性 T=2π（4）奇偶性 偶函数（5）单调性 [2kπ,2kπ+π]区间上为减函数，[2kπ+π， 2kπ+2π]区间上为增函数（6）与x轴的交点 当x=kπ+ ( k∈z)时，y=cosx=02021/3/1178用五点法画出y=2cosx在［0，2π］上的简图列表描点并连线（图4—27）图4—272021/3/1179正切函数正切函数y=tanx的图像的图像2021/3/11802021/3/11812021/3/1182多面体定义：多面体定义：由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体.棱棱柱柱：：一般地，有两个面互相平行，且不在这两个面的棱都相互平行的多面体称为棱柱.棱柱中的元素：棱柱中的元素：底面、高、侧面、侧棱、顶点.如图5—3.棱柱的表示方法.如ABCDE-A1B1C1D1E．即用底面的顶点表示.2021/3/1183棱柱的分类棱柱的分类按侧棱的条数分：按侧棱的条数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按侧棱与底面的关系分按侧棱与底面的关系分 正正棱棱柱柱：：底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱.如正三棱柱．正四棱柱．如图5—1中的(1)、（11）、（12）、（13）正正棱棱柱柱特特征征：：底面是全等的正多边形，侧面是全等的矩形．侧棱与底面垂直．2021/3/1184棱棱锥锥定定义义：：一般地，有一个多边形的面，且不在这个面上的棱却有一个公共点的多面体．如图5—1中的（2）、（3）、（7）、（10）和（16）.棱锥元素：棱锥元素：底面、侧面、侧棱、顶点．棱棱锥锥表表示示方方法法：：如图5—4．S－ABCDE.即用顶点和底面多边形的字母表示.2021/3/1185正棱锥的定义及特征正棱锥的定义及特征底面是正多边形,侧面是全等的等腰三角形,称这样的棱锥为正棱锥,如图5—1中的(3)、（7）、（10）、（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥.注：三棱锥称四面体，正三棱锥称正四面体.2021/3/1186圆柱圆柱定义：一般地，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆柱.如图5—5，用轴线o′表示.圆柱中的元素：轴、底面、高、侧面、母线.特征：母线处处相等．底面平行.全等.2021/3/1187圆锥圆锥定义：一般地，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而成的曲面所围成的几何体称为圆锥.如图5-6.用圆锥δo表示.圆锥中的元素：轴、高、底面、侧面、母线特征：母线处处相等.2021/3/1188球定义：一般地，以定圆的直径所在的直线为旋转轴，定圆旋转一周而成的曲面称为球面；球面所围成的几何体称为球体.如图5-7.用球o表示.球的元素：球心、直径、半径2021/3/1189 三视图以主观图、俯视图和左视图方式来表现空间几何体的结构叫做空间几何体的三视图(长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等)画水平放置的三角形的直观图直观图2021/3/11902021/3/11912021/3/1192球的表面积和体积球的表面积和体积2021/3/11932021/3/1194。