信号与系统教案第3章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,西安电子科技大学电路与系统教研中心,第3-,*,页,电子教案,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,二、差分方程的经典解,三、零输入响应和零状态响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,一、单位序列响应,二、阶跃响应,3.3 卷积和,一、序列分解与卷积和,二、卷积的图解,三、不进位乘法,四、卷积和的性质,点击目录 ，进入相关章节,第三章 离散系统的时域分析,3.1 LTI离散系统的响应,一、差分与差分方程,设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的,移位序列,仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的,差分,运算1.差分运算,离散信号的变化率有两种表示形式：,3.1 LTI离散系统的响应,（1）,一阶前向差分定义,：,f(k)=f(k+1)f(k),（2）,一阶后向差分定义,：,f(k)=f(k)f(k 1),式中，,和称为差分算子，无原则区别本书主要用后向差分，简称为,差分,3）,差分的线性性质,：,af,1,(k)+bf,2,(k)=a f,1,(k)+b f,2,(k),（4）,二阶差分定义,：,2,f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1),=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=,f(k)2 f(k-1)+f(k-2),（5）,m阶差分:,m,f(k)=,f(k)+b,1,f(k-1)+b,m,f(k-m),因此，可定义：,3.1 LTI离散系统的响应,2.差分方程,包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为,差分方程,。

将,差分,展开为,移位序列,，得一般形式,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=b,m,f(k)+b,0,f(k-m),差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解例,：若描述某系统的差分方程为,y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2,k,(k),求y(k)解,：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k),y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2,y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 ,一般不易得到解析形式的(闭合)解3.1 LTI离散系统的响应,二、差分方程的经典解,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=b,m,f(k)+b,0,f(k-m),与微分方程经典解类似，y(k)=y,h,(k)+y,p,(k),1.齐次解,y,h,(k),齐次方程,y(k)+a,n-1,y(k-1)+a,0,y(k-n)=0,其,特征方程,为 1+a,n-1,1,+a,0,n,=0,，即,n,+a,n-1,n 1,+a,0,=0,其根,i,(i=1，2，n)称为差分方程的,特征根,。

齐次解的形式取决于特征根,当特征根,为,单根,时，齐次解y,n,(k)形式为：C,k,当特征根,为,r重根,时，齐次解y,n,(k)形式为：,(C,r-1,k,r-1,+C,r-2,k,r-2,+C,1,k+C,0,),k,3.1 LTI离散系统的响应,2.特解,y,p,(k):特解的形式与激励的形式雷同,(r1）,1）激励f(k)=k,m,(m0）,所有特征根均不等于1时,;,y,p,(k)=P,m,k,m,+P,1,k+P,0,有r重等于1的特征根时,;,y,p,(k)=k,r,P,m,k,m,+P,1,k+P,0,（2）激励f(k)=a,k,当a不等于特征根时,;y,p,(k)=Pa,k,当a是r重特征根时,;,y,p,(k)=（P,r,k,r,+P,r-1,k,r-1,+P,1,k+P,0,)a,k,（3）激励f(k)=cos(k)或sin(k)且,所有特征根均不等于e,j,；,y,p,(k)=Pcos(k)+Qsin(k),例,：,若描述某系统的差分方程为,y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k),已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2,k,，k0。

求方程的全解解,：,特征方程为 ,2,+4+4=0,可解得特征根,1,=,2,=2，其齐次解,y,h,(k)=(C,1,k+C,2,)(2),k,特解为 y,p,(k)=P(2),k,k0,代入差分方程得 P(2),k,+4P(2),k 1,+4P(2),k2,=f(k)=2,k,，,解得 P=1/4,所以得特解：y,p,(k)=2,k2,k0,故全解为 y(k)=y,h,+y,p,=(C,1,k+C,2,)(2),k,+2,k2,k0,代入初始条件解得 C,1,=1,C,2,=1/4,3.1 LTI离散系统的响应,3.1 LTI离散系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,y(k)=y,x,(k)+y,f,(k),也可以,分别,用经典法求解y(j)=y,x,(j)+y,f,(j),j=0,1,2,n 1,设,激励f(k)在k=0时接入系统,，,通常以y(1),y(2),，y(n)描述系统的,初始状态,y,f,(1)=y,f,(2)=y,f,(n)=0,所以 y(1)=y,x,(1),y(2)=y,x,(2),，y(n)=y,x,(n),然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的,初始值,y,x,(j)和y,f,(j)(j=0,1,2,，n 1),3.1 LTI离散系统的响应,例,：若描述某离散系统的差分方程为,y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知激励f(k)=2,k,k0，初始状态y(1)=0,y(2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

解,：（1）y,x,(k)满足方程 y,x,(k)+3y,x,(k 1)+2y,x,(k 2)=0,其初始状态y,x,(1)=y(1)=0,y,x,(2)=y(2)=1/2,首先递推求出初始值y,x,(0),y,x,(1),y,x,(k)=3y,x,(k 1)2y,x,(k 2),y,x,(0)=3y,x,(1)2y,x,(2)=1 ,y,x,(1)=3y,x,(0)2y,x,(1)=3,方程的特征根为,1,=1，,2,=2 ，,其解为 y,x,(k)=C,x1,(1),k,+C,x2,(2),k,将初始值代入 并解得 C,x1,=1,C,x2,=2,所以 y,x,(k)=(1),k,2(2),k,k0,3.1 LTI离散系统的响应,y,f,(k)+3y,f,(k 1)+2y,f,(k 2)=f(k),初始状态y,f,(1)=y,f,(2)=0,递推求初始值,y,f,(0),y,f,(1)，,y,f,(k)=3y,f,(k 1)2y,f,(k 2)+2,k,k0,y,f,(0)=3y,f,(1)2y,f,(2)+1=1,y,f,(1)=3y,f,(0)2y,f,(1)+2=1,分别求出齐次解和特解,，得,y,f,(k)=C,f1,(1),k,+C,f2,(2),k,+y,p,(k),=C,f1,(1),k,+C,f2,(2),k,+(1/3)2,k,代入初始值,求得 C,f1,=1/3 ,C,f2,=1,所以 y,f,(k)=(1),k,/3+(2),k,+(1/3)2,k,k0,（2）,零状态响应y,f,(k),满足,3.2 单位序列响应和阶跃响应,3.2 单位序列响应和阶跃响应,一、单位序列响应,由单位序列,(k),所引起的,零状态响应,称为,单位序列响应,或,单位样值响应,或,单位取样响应,，或简称,单位响应,，记为,h(k),。

h(k)=T0,(k),例1,已知某系统的差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k),求单位序列响应h(k)解,根据h(k)的定义 有,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）,h(1)=h(2)=0,（1）递推求初始值h(0)和h(1),3.2 单位序列响应和阶跃响应,h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k),h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1,h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1,(2)求h(k),对于k 0，h(k)满足齐次方程,h(k)h(k 1)2h(k 2)=0,其特征方程为(+1)(2)=0,所以 h(k)=C,1,(1),k,+C,2,(2),k,，k0,h(0)=C,1,+C,2,=1,h(1)=C,1,+2C,2,=1,解得C,1,=1/3 ,C,2,=2/3,h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,k0,或写为h(k)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k),方程（1）移项写为,3.2 单位序列响应和阶跃响应,例2,：若方程为：,y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)f(k 2),求单位序列响应h(k),解,h(k)满足,h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2),令只有(k)作用时，系统的单位序列响应h,1,(k),它满足,h,1,(k)h,1,(k 1)2h,1,(k 2)=(k),根据线性时不变性，,h(k)=h,1,(k)h,1,(k 2)=(1/3)(1),k,+(2/3)(2),k,(k)(1/3)(1),k 2,+(2/3)(2),k2,(k 2),3.2 单位序列响应和阶跃响应,二、阶跃响应,g(k)=T,(k),0,由于,，,(k)=(k)(k 1)=,(k),所以,，h,(k)=,g,(k),(k,2,k,1,),两个常用的求和公式：,3.3 卷积和,3.3 卷积和,一、卷积和,1,.,序列的时域分解,任意离散序列f(k)可表示为,f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2),+f(,i,)(k,i,)+,3.3 卷积和,2,.任意,序列作用下的零状态响应,y,f,(,k,),f,(,k,),根据h(k)的定义：,(,k,),h,(,k,),由时不变性：,(,k,-,i,),h,(,k,-,i,),f,(,i,)(,k,-,i,),由齐次性：,f,(,i,),h,(,k,-,i,),由叠加性：,f,(,k,),y,f,(,k,),卷积和,3.3 卷积和,3,.卷积和的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f,1,(k)和f,2,(k)，则定义和,为f,1,(k)与f,2,(k)的,卷积和,，简称,卷积,；记为,f(k)=f,1,(k)*f,2,(k),注意,：求和是在虚设的变量,i,下进行的，,i,为求和变量，k 为参变量。

结果仍为k 的函数3.3 卷积和,例,：,f,(,k,)=a,k,(,k,),h,(,k,)=b,k,(,k,)，,求,y,f,(,k,)解,：,y,f,(,k,)=,f,(,k,)*,h,(,k,),当,i,k时，(k-,i,)=0,(,k,)*,(,k,)=(k+1),(,k,),3.3 卷积和,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为,四步,：,（1）,换元,：k换为,i,得 f,1,(,i,)，f,2,(,i,),（2）,反转平移,：由f,2,(,i,)反转 f,2,(,i,)右移k f,2,(k,i,),（3）,乘积,：f,1,(,i,)f,2,(k,i,),（4）,求和,：,i,从 到对乘积项求和注意：,k,为参变量下面举例说明3.3 卷积和,例,：f,1,(k)、f,2,(k)如图所示，已知f(k)=f,1,(k)*f,2,(k)，求f(2)=？,解,：,（1）换元,（2）,f,2,(,i,)反转得,f,2,(,i,),（3）f,2,(,i,)右移2得,f,2,(2,i,),（4）,f,1,(,i,)乘,f,2,(2,i,),（5）求和，得,f(2)=4.5,f,2,(,i,),f,2,(2,i,),3.3 卷积和,三、不进位乘法求卷积,f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积。