通信原理（Seminar）课件第3章.ppt

1通信原理2通信原理第第3章章 随机过程随机过程3第第3章章 随机过程随机过程l 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）高斯随机过程（正态随机过程）n3.3.1 定义定义n 高斯过程高斯过程(正态随机过程正态随机过程)：通信领域中最重：通信领域中最重要的一种过程，大多数噪声都是高斯型的要的一种过程，大多数噪声都是高斯型的n 如果随机过程如果随机过程 (t)的任意的任意n维（维（n =1,2,.）分）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，过程，n维正态概率密度函数表示式为：维正态概率密度函数表示式为：式中式中 4式中式中 |B| 归一化协方差矩阵的行列式，即归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk 行列式行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即 5n 3.3.2 重要性质重要性质u由高斯过程的定义式可以看出由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的高斯过程的n维分维分布只依赖各个随机变量的布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方均值、方差和归一化协方差差因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特。

因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了征就可以了u广义平稳的高斯过程也是严平稳的广义平稳的高斯过程也是严平稳的u 因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的所以，高斯过程若是广义平稳故它也是严平稳的所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳的，则也严平稳6u如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有即对所有j k，有，有bjk =0，则其概率密度可以简化为，则其概率密度可以简化为这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的的，那么它们也是统计独立的u高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程也高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。

是高斯过程7n 3.3.3 高斯随机变量高斯随机变量u定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为函数为式中式中a 均值均值 2 方差方差曲线如右图：曲线如右图：8u性质性质pf (x)对称于直线对称于直线 x = a，即，即p pa表示分布中心，表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着将随着 的减小而变高和变窄当的减小而变高和变窄当a = 0和和 = 1时，称为时，称为标准化的正态分布：标准化的正态分布：9不同概率密度函数曲线不同概率密度函数曲线10u正态分布函数正态分布函数 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：数，用查表的方法求出：p用误差函数表示正态分布函数：令用误差函数表示正态分布函数：令 则有则有 及及 式中式中 误差函数，可以查表求出其值误差函数，可以查表求出其值11p用互补误差函数用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：表示正态分布函数：式中式中当当x 2时，时，12p用用Q函数表示正态分布函数：函数表示正态分布函数：Q函数定义：函数定义：Q函数和函数和erfc函数的关系：函数的关系：Q函数和分布函数函数和分布函数F(x)的关系：的关系：Q函数值也可以从查表得到。

函数值也可以从查表得到13平稳随机过程通过线性系统l随机过程通过线性系统的分析，完全是建随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析基础之立在确知信号通过线性系统的分析基础之上的是对确知信号分析的推广是对确知信号分析的推广l当一个系统的行为满足叠加原理时，这个当一个系统的行为满足叠加原理时，这个系统称为线性系统系统称为线性系统l线性线性时不变时不变系统可由其单位冲激响应系统可由其单位冲激响应h(t)或其频率响应或其频率响应H(f)来表示14确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统n确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统 ：式中式中 vi 输入信号，输入信号， vo 输出信号输出信号对应的傅里叶变换关系：对应的傅里叶变换关系：n随机信号通过线性系统：随机信号通过线性系统：u假设：假设： i(t) 是平稳的输入随机过程，是平稳的输入随机过程， a 均值，均值， Ri( ) 自相关函数，自相关函数， Pi( ) 功率谱密度；功率谱密度；求输出过程求输出过程 o(t)的统计特性，即它的均值、自相关的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布函数、功率谱以及概率分布。

15 设线性系统的冲激响应为设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为，输入随机过程为i(t)，则输出为，则输出为o(t) ，则输入与输出可表示成卷积关系则输入与输出可表示成卷积关系 对线性系统，当输入对线性系统，当输入i(t)是平稳过程时，输出响应是平稳过程时，输出响应o(t)，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主，则对输入信号和输出信号的统计关系有以下主要结论：要结论：即线性系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积即线性系统响应等于输入信号与冲激响应的卷积随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统1.输出过程的均值是一个常数输出过程的均值是一个常数a是输入过程的均值，是输入过程的均值，H(0)是线性系统在是线性系统在f=0时的频率响时的频率响应，即直流增益应，即直流增益16u输出过程输出过程 o(t)的均值的均值 对上式两边取统计平均：对上式两边取统计平均：得到得到设输入过程是平稳的设输入过程是平稳的 ，则有，则有 式中，式中，H(0)是线性系统在是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数过程的均值是一个常数172. 若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的是平稳的系统的输出系统的输出0(t)的自相关函数只与时间间隔的自相关函数只与时间间隔有关，与有关，与时间起点无关。

时间起点无关18u输出过程输出过程 o(t)的自相关函数：的自相关函数：根据自相关函数的定义根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有根据输入过程的平稳性，有于是于是 上式表明上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的 193.线性系统输出平稳过程线性系统输出平稳过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度Po(f)是输入是输入平稳过程平稳过程i(t)的功率谱密度的功率谱密度Pi(f)与传递函数模的乘积与传递函数模的乘积平方H(f)为系统的频率响应为系统的频率响应20u输出过程输出过程 o(t)的功率谱密度的功率谱密度对下式进行傅里叶变换：对下式进行傅里叶变换：得出得出令令 = + - ，代入上式，得到，代入上式，得到即即结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方以系统频率响应模值的平方应用：由应用：由Po( f )的反傅里叶变换求的反傅里叶变换求Ro( ) 21u输出过程输出过程 o(t)的概率分布的概率分布p如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。

程也是高斯型的 因为从积分原理看，因为从积分原理看， 可以表示为：可以表示为： 由于已假设由于已假设 i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量因此，输出过程在任一时刻上都是一个高斯随机变量因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和由概率论理论得知，这个量之和由概率论理论得知，这个“和和” 也是高斯随机也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程变量，因而输出过程也为高斯过程注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了223.5 窄带随机过程 n什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 若随机过程若随机过程 (t)的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围附近相对窄的频带范围 f 内，即满足内，即满足 f fc的条件，且的条件，且 fc 远离零频率，则称该远离零频率，则称该 (t)为窄带为窄带随机过程随机过程 2323其频谱和样本如图其频谱和样本如图其频谱和样本如图其频谱和样本如图 （a a）2424窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意25n窄带随机过程的表示式窄带随机过程的表示式式中，式中，a (t) 随机包络，随机包络， (t) 随机相位随机相位 c 中心角频率中心角频率显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。

的变化要缓慢得多26n窄带随机过程表示式展开窄带随机过程表示式展开可以展开为可以展开为式中式中 (t)的的同相分量同相分量 (t)的的正交分量正交分量可以看出：可以看出： (t)的统计特性由的统计特性由a (t)和和 (t)或或 c(t)和和 s(t)的统计的统计特性确定特性确定27讨论讨论均值为零均值为零的的平稳平稳高斯窄带高斯窄带过程的统计特性过程的统计特性n3.5.1 c(t)和和 s(t)的统计特性的统计特性p数学期望：对下式求数学期望：数学期望：对下式求数学期望：得到得到 因为因为 (t)平稳且均值为零，故对于任意的时间平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有，都有E (t) = 0 ，所以，所以 28p (t)的自相关函数：的自相关函数：由自相关函数的定义式由自相关函数的定义式式中式中因为因为 (t)是平稳的，故有是平稳的，故有这就要求上式的右端与时间这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与无关，而仅与 有关 因此，若令因此，若令 t = 0，上式仍应成立，它变为，上式仍应成立，它变为29第第3章章 随机过程随机过程因与时间因与时间t无关，以下二式自然成立无关，以下二式自然成立所以，上式变为所以，上式变为再令再令 t = /2 c，同理可以求得，同理可以求得由以上分析可知，由以上分析可知，若窄带过程若窄带过程 (t)是平稳的，则是平稳的，则 c(t)和和 s(t)也必然是平稳的。

也必然是平稳的30p进一步分析，下两式进一步分析，下两式应同时成立，故有应同时成立，故有上式表明，上式表明，同相分量同相分量 c(t) 和正交分量和正交分量 s(t)具有相同的自相关函数具有相同的自相关函数根据互相关函数的性质，应有根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到代入上式，得到上式表明上式表明Rsc( )是是 的奇函数，所以的奇函数，所以同理可证同理可证 31第第3章章 随机过程随机过程将将代入下两式代入下两式得到得到即即上式表明上式表明 (t) 、 c(t)和和 s(t)具有相同的平均功率或方差具有相同的平均功率或方差 32p根据平稳性，故由式根据平稳性，故由式 得到得到因为因为 (t)是高斯过程是高斯过程，所以。