2001年高考数学试题——(上海卷)及答案.doc

2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分．1．函数的反函数______．2．若复数满足方程（是虚数单位），则=________．3．函数的最小正周期为________．4．二项式的展开式中常数项的值为________．5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________．6．圆心在直线上且与轴相切于点（1，0）的圆的方程为________．7．计算：=________．8．若向量，满足，则与所成角的大小为________．9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）10．若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选、、都能成立的一个等式可以是_______11．关于的函数有以下命题： （1）对任意的，都是非奇非偶函数； （2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数； （3）存在，使是奇函数； （4）对任意的，都不是偶函数 其中一个假命题的序号是_______因为当=_______时，该命题的结论不成立12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分13．若、为实数，则是的（ ）（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既非充分条件也非必要条件．14．若直线的倾斜角为，则（ ） （A）等于0 （B）等于 （C）等于 （D）不存在15．若有平面与，且，则下列命题中的假命题为（ ）（A）过点且垂直于的直线平行于．（B）过点且垂直于的平面垂直于．（C）过点且垂直于的直线在内．（D）过点且垂直于的直线在内．16．若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知为全集，，求18．（本题满分12分）已知，试用表示的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．（1）求关于的函数解析式；（2）设容器的容积为立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 在长方体中，点、分别、上，且， （1）求证：；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理，在，，时，求平面与平面所成的角的大小（用反三角函数值表示）21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求： （1）点的轨迹方程；（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和．（1）用表示；（2）是否存在自然数和，使得成立．2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学答案及评分标准说明：1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．给分或扣分均以1分为单位．答案及评分标准一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分．1．． 2．． 3．． 4．20． 5．．6．． 7．． 8．90°． 9．． 10． 11．（1），；（1），；（4），等（两个空格全填对时才能得分，其中也可以写成任何整数） 12．219.01二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分13．A 14．C 15．D 16．B三、（第17至22题）17．解 由已知因为为减函数，所由解得所以由，解得所以于是故18．解 因为 所以 因而 又，于是因此19．解（1）设为正四棱锥的斜高由已知 解得 （2） 易得 因为，所以 等式当且仅当，即时取得故当米时，有最大值，的最大值为立方米．20．证（1）因为，所在平面上的射影为由，得，同理可证因为 所以 解（2）过作的垂线交于，因为，所以设与所成的角为，则即为平面与平面所成的角．由已知，计算得．如图建立直角坐标系，则得点，，，因为与所成的角为所以 由定理知，平面与平面所成角的大小为21．解（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．当时，设直线的斜率为，则的方程为由已知 （1） （2） 由（1）得， （3）由（2）得， （4）由（3）、（4）及，，，得点Q的坐标满足方程 （5）当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）综上所述，点Q的坐标满足方程设方程（5）所表示的曲线为L，则由得因为，由已知，所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方程为（2）由 解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）由 解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）22．解（1）由，得（2）要使，只要因为，所以，故只要 ①因为，所以，又，故要使①成立，c只能取2或3当c=2时，因为，所以当k=1时，不成立，从而①不成立因为，由，得，所以当时，，从而①不成立当c=3时，因为，，所以当k=1，2时，不成立，从而①不成立因为，又，所以当时，，从而①不成立故不存在自然数c、k，使成立。