数学模型-第03章(第五版).ppt

第三章 简单优化模型,优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题.,用数学建模方法解决优化问题的过程,简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解.,材料强度最大,运输费用最低,利润最高,风险最小,优化目标与决策,模型假设与建立,数学求解与分析,属于数学规划的优化模型在第四章讨论.,3.1 存贮 模型 3.2 森林救火 3.3 倾倒的啤酒杯 3.4 铅球掷远 3.5 不买贵的只买对的 3.6 血管分支 3.7 冰山运输 3.8 影院里的视角和仰角 3.9 易拉罐形状和尺寸的最优设计,第三章 简单优化模型,3.1 存贮模型,问 题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.,已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.,要 求,不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.,问题分析与思考,每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.,日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元.,10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元.,50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.,平均每天费用950元,平均每天费用2550元,10天生产一次,平均每天费用最小吗?,每天费用5000元,是一个优化问题，关键在建立目标函数.,显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.,目标函数——每天总费用的平均值.,周期短，产量小,周期长，产量大,问题分析与思考,模 型 假 设,1. 产品每天的需求量为常数 r；,2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；,3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件，当贮存量降 为零时，Q件产品立即生产出来 (生产时间不计)；,建 模 目 的,r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.,4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.,模 型 建 立,贮存量表示为时间的函数 q(t),t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.,一周期 总费用,每天总费用平均 值（目标函数）,离散问题连续化,一周期贮存费为,A,,=QT/2,模型求解,求 T 使,,模型解释,定性分析,敏感性分析,参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响,T对c1的(相对)敏感度,c1增加1%, T增加0.5%,S(T,c2)=–1/2, S(T,r)=–1/2,c2或r增加1%, T减少0.5%,经济批量订货公式(EOQ公式),,用于订货供应情况:,不允许缺货的存贮模型,模型应用,回答原问题,c1=5000, c2=1，r=100,每天需求量 r，每次订货费 c1, 每天每件贮存费 c2 , T天(周期) 订货一次,每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货.,思考: 为什么与前面计算的C=950元有差别?,允许缺货的存贮模型,A,B,当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.,原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货).,现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足.,周期T, t=T1贮存量降到零,一周期总费用,一周期贮存费,一周期缺货费,每天总费用 平均值 （目标函数）,一周期总费用,求 T ,Q,为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T´, Q记作Q´.,允许缺货的存贮模型,不允许 缺货 模型,记,,,允许缺货模型,允许缺货模型,注意：缺货需补足,Q~每周期初的存贮量,每周期的生产量R （或订货量）,Q~不允许缺货时的产量(或订货量),存 贮 模 型,存贮模型(EOQ公式)是研究批量生产计划的重要理论基础, 也有实际应用.,建模中未考虑生产费用, 为什么?在什么条件下可以不考虑?,建模中假设生产能力为无限大(生产时间不计), 如果生产能力有限(是大于需求量的常数), 应作怎样的改动?,3.2 森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.,分析,问题,记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).,损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.,救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.,存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.,关键是对B(t)作出合理的简化假设.,分析,失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.,分析B(t)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).,模型假设,3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）,1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度).,2）t1tt2,  降为–x (为队员的平均灭火速度).,4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 .,假设1）的解释,,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比.,模型建立,目标函数——总费用,,模型建立,目标函数——总费用,模型求解,求 x使 C(x)最小,,其中 c1,c2,c3, t1,  ,为已知参数,c2  x,c1, t1,    x,c3 ,   x ,c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.,为什么?,结果解释, / 是火势不继续蔓延的最少队员数,模型应用,费用参数c1,c2,c3已知, ,由森林类型、队员能力等因素决定，可设置一系列数值备查.,模型可决定队员数量 x,开始救火时刻t1可估计,评注,在风力的影响较大时“森林烧毁速度dB/dt 与 t成正比”的假设需要重新考虑.,队员灭火速度应该与开始救火时的火势有关.,不平坦处满杯啤酒容易倾倒.,杯子中央稍下一点的位置.,重心有一个最低点 ~ 啤酒杯容易放稳的位置.,饮酒时重心先降低，再升高，回到中央.,建立数学模型——描述啤酒杯的重心变化的规律，找出重心最低点的位置，讨论决定最低点的因素.,重心太高！,满杯时重心在哪里？,空杯时重心在哪里？,与满杯时重心相同.,倒酒时重心先升高，再降低，回到中央.,3.3 倾倒的啤酒杯,问题分析与模型假设,s(x),,,最简单的啤酒杯 ~ 高度为1的圆柱体.,沿中轴线建立坐标轴x，倒酒时 液面高度从x=0到x=1.,假设：啤酒和杯子材料均匀.,w2 ~ 空杯侧壁质量 w3 ~ 空杯底面质量,空杯重心由w2和w3决定, 与x无关.,重心位置沿x轴变化，记作s(x).,w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量, s1=x/2, s2=1/2,液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2,问题分析与模型假设,s(x),w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量 w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量,空杯重心位置 s2=1/2,忽略空杯底面质量w3,啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.,啤酒杯重心模型一, s1=x/2, s2=1/2,s(x),,s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心,啤酒质量w1x,空杯质量w2,啤酒重心s1,空杯重心s2,力矩平衡,,,s1=x/2,s2=1/2,,a=w2/w1,啤酒杯重心模型一,啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关,a = w2/w1,w1 ~ 啤酒质量 w2 ~ 空杯质量,a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.,对于每个a, s(x)有一最小点.,x =0.35,s(x)= 𝑥 2 +𝑎 2(𝑥+𝑎),啤酒杯重心模型一,a = w2/w1,微分法求解s极值问题,,,液面高度为x时啤酒杯重心处于最低位置.,x 由质量比a决定,s(x)= 𝑥 2 +𝑎 2(𝑥+𝑎),结果分析,半升啤酒杯w1=500g,空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).,一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！,设w2=150g,w2↑ → a ↑ → x ↑,空杯越重,重心最低时的液面越高.,s(x)= 𝑥 2 +𝑎 2(𝑥+𝑎),重心最低位置x由比值a决定,结果分析,,,,= x,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,意料之外?,情理之中!,直观解释,x=0时s=s2=1/2,结果分析,,,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,数学分析,ds/dx与 (x-s) 同号.,xs时ds/dx 0→s↓,,xs时ds/dx 0→s↑,x=s时ds/dx =0, s达到最小值.,x↑,啤酒杯重心模型二, s1=x/2, s2=1/2,s(x),s3=0 ,考虑空杯底面质量w3,底面厚度杯子高度,力矩平衡,,s1=x/2,s2=1/2,a=w2/w1,b=w3/w1,b=0时与模型一相同.,啤酒杯重心模型二,,a = w2/w1 b = w3/w1,=s(x),啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,与模型一 a=0.3时 x=0.3245比较,设侧壁和底面的厚度和材质相同, 侧壁高度h, 底面直径 d, h=2d,小结与评注,对于一个饶有生活情趣的现象建立数学模型：,对杯子作适当的简化假设.,用基本物理知识构造优化模型.,用导数、极限、作图等方法给出求解结果.,对结果作数学分析并给予实际解释.,啤酒杯重心模型二,啤酒杯重心与液面高度重合时重心最低.,啤酒杯重心模型一,既在意料之外又在情理之中的结果.,函数s=s(x)的最小点x*是不动点，即x*=s(x*),有趣的现象: 只要啤酒杯是旋转体(如圆台或球台), 上述结果就成立！,旋转体~侧壁由任意曲线绕中轴线旋转而成.,,小结与评注,,3.4 铅球掷远,铅球掷远起源于14世纪欧洲炮兵推掷炮弹的游戏和比赛.,男子铅球早在1896年第1届奥运会上就被列为比赛项目.,影响投掷距离的因素：,找出最佳出手角度.,定量分析投掷距离与这些因素的关系.,研究这些因素的微小改变对投掷距离的影响.,常识判断,初始速度,出手角度,出手高度,问题分析,x,男子铅球直径11至13cm, 重量为16磅(合7.26kg).,在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.,将铅球视为一个质点，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜抛运动.,影响投掷距离的因素：,初始速度v,出手角度θ,出手高度h,模型一,不考虑铅球出手高度,θ ~ 初始速度v与x轴的夹角,,g ~ 重力加速度,t=0时铅球从坐标原点O投出.,,s ~ 投掷距离,,,斜抛运动的基本定律,,模型一,,,出手角度θ=π/4时,最佳出手角度π/4与初始速度v无关.,“物体以45度角抛出的距离最远”,对任何出手角度θ，投掷距离s与v2成正比.,初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加.,结果分析,投掷距离 最大.,模型二,铅球出手高度为h,t=0时铅球从 (0, h) 投出,,,h=0 时与模型一 相同.,,模型二,,直接用 求最佳出手角度计算太繁.,,,,,,,,最佳出手角度,最远投掷距离,,,,,模型二,最佳出手角度,最远投掷距离,最佳出手角度θπ/4,大致上 s ∝v2 s∝ h1/2,提高v对s的增加远比提高h有效.,v ↑,h ↑,模型二的最佳出手角度及最远投掷距离,h≈身高+20cm,v ≈ 8~10m/s(普通人) v ≈10~13m/s(运动员),最佳出手角度约400,模型二s比模型。