第6讲 直线上的点集.ppt

第6讲 直线上的点集 目的：掌握Cantor集的构造，熟悉直线上 开集与闭集的构造重点与难点：Cantor集的构造第6讲 直线上的点集 一．自密集、疏朗集、完备集 问题问题1 1：回忆开集与闭集的定义，可否：回忆开集与闭集的定义，可否 通过集合与其导集的关系重新通过集合与其导集的关系重新 定义开集与闭集？定义开集与闭集？ 问题问题2 2：集合与其导集有哪些可能的关：集合与其导集有哪些可能的关 系？系？第6讲 直线上的点集 定义定义5 5（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自密集自密集； （ii）若 ，则称 是完备集合完备集合 定义定义6 6 假设 是 中的一个集合，如果 不 包含任何邻域，则称 为无处稠密的无处稠密的。

第6讲 直线上的点集 问题问题3 3：：能否在直线上找到既完备有是疏朗的能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？集合？第6讲 直线上的点集 Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间即 如此继续下去，最终剩下的点集记作G，称之为CantorCantor集集，则G是一个完备集 问题问题4 4：你认为：你认为CantorCantor集的势是多少？集的势是多少？* *定理定理10 10 证证明明：：回回忆忆一一下下前前面面的的 进进位位表表示示法法以以及及CantorCantor集集的的构构造造立立刻刻看看到到，，这这里里用用三三进进制制小小数数表表示示(0,1)(0,1)中的点，将会更方便于讨论中的点，将会更方便于讨论 我我们们先先来来看看看看，，去去掉掉的的三三等等分分区区间间中中的的点点用用三三进进制表示的话，有什么规律。

显然，第一次删去的区间制表示的话，有什么规律显然，第一次删去的区间第6讲 直线上的点集  内的点对应的三进制数第一位必然是内的点对应的三进制数第一位必然是1 1，进一步观察，进一步观察 不难发现，只要不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则点在某个删去的区间内，则 的三的三 进制表示中，必有某一位是进制表示中，必有某一位是1 1反之，如果反之，如果 不是分不是分 点，且在某位出现点，且在某位出现1 1，则在经过若干次删除手续后，，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的区间内，即必然在删去的区间内，即 因此，除了分因此，除了分点外，点外， 在在 中当且仅当其三进制表示中不出现数中当且仅当其三进制表示中不出现数1 1注意挖去注意挖去的区间是可数的，故分点集的区间是可数的，故分点集 也可数，因此也可数，因此 第6讲 直线上的点集 因此因此 如果在如果在§§2 2定理定理9 9中令中令 ，则立得，则立得 。

于是于是 第6讲 直线上的点集 第6讲 直线上的点集 二．直线上开集、闭集的构造问题问题5 5：除开区间外，你还能找出直线上：除开区间外，你还能找出直线上 多少开集？多少开集？第6讲 直线上的点集 问题问题6 6：：开集中每一点都是内点，因此直线上开集中每一点都是内点，因此直线上 任一开集中的每一点都有一个开邻域任一开集中的每一点都有一个开邻域 包含在该开集中，这样的开邻域有多包含在该开集中，这样的开邻域有多 少？其中有没有最大的一个？如何找少？其中有没有最大的一个？如何找 出这个最大的开邻域？出这个最大的开邻域？第6讲 直线上的点集 * *定理定理11 11 中任何非空的有界开集都是有限中任何非空的有界开集都是有限 个或可数个互不相交的开区间的并个或可数个互不相交的开区间的并。

第6讲 直线上的点集 定理定理1111的证明：的证明： 设设 是是有有界界开开集集，，则则存存在在 ，，使使得得 对对任任意意 ，，由由 是是开开的的，，知知存存在在开开区区间间 ，，使使 不不难难看看到到，，包包含含 的的 中中开开区区间间有有无无穷穷多多个个，，记记往证： (i) ，且 (ii) 对任意 ，或者 ， 或者 对任意 ，记 由 的定义知存在 ，使 ，第6讲 直线上的点集  且 。

于是 即 ，故 如果 ， 则 存 在 ， 使 ， 显 然 ，这与 的定义矛盾因此 同理可证 第6讲 直线上的点集 (i)证完 再证（ii），对任意 ，若 ， ，则或者 中至少有一个在 中；从而也在 中，无论何种情形均与（i）矛盾故（ii）也成立第6讲 直线上的点集  以上论证说明， 可以表示为一些互不相交的开区间之并而这些区间的全体必定是至多可数的，这只要从每个区间中取出一个有理数，从而不同区间对应不同的有理数便可得到证明 第6讲 直线上的点集 第6讲 直线上的点集 问题问题7 7：根据开集与闭集的互余关系，如何：根据开集与闭集的互余关系，如何 构造直线上的闭集？构造直线上的闭集？第6讲 直线上的点集 定理定理13 13 设设 是非空的有界闭集，则是非空的有界闭集，则 是由是由 一闭区间中去掉有限个或可数个互一闭区间中去掉有限个或可数个互 不相交的开区间而成。

不相交的开区间而成第6讲 直线上的点集 定理定理1313的证明：的证明： 设设 ，则由定理，则由定理1212知知 ，于是，于是 ，且，且 由定理6 6的推论的推论1 1知知 是开集，由定理是开集，由定理1111，存在有限个或可数个互不相交的开区间，存在有限个或可数个互不相交的开区间 ，使，使 ，从而，从而 。

第6讲 直线上的点集 问题问题8 8：直线上什么样的闭集是完备的？所有：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？的完备集都是这样的吗？第6讲 直线上的点集 定理定理12 12 假设假设 是是 中的有界闭集，中的有界闭集， 则则 ；换言之，；换言之， 中中 既有最大数，也有最小数既有最大数，也有最小数定理定理14 14 假设假设 是非空有界闭集，则是非空有界闭集，则 是完备是完备 集当且仅当集当且仅当 是从一闭区间是从一闭区间[ [a,b]a,b]中去掉中去掉 有限个或可数个彼此没有公共端点且与有限个或可数个彼此没有公共端点且与[ [a,b]a,b] 也无公共端点的开区间而成。

也无公共端点的开区间而成 第6讲 直线上的点集 定理定理14的证明：的证明： 若若 是是完完备备集集；；则则显显然然挖挖去去的的开开区区间间彼彼此此无无公公共共端端点点，，否否则则这这个个公公共共端端将将是是 的的孤孤立立点点，，故故必必要要性性是是显然的往证充分性，只需证明任意显然的往证充分性，只需证明任意 都是都是 的的聚聚点点若若不不然然，，假假设设 是是其其孤孤立立点点，，则则存存在在 ，使，使 ，且，且 ，由，由 的的构构造造知知 只只能能是是某某些些挖挖去去的的开开区区间间的的公公共共端端点点。