数学分析课后习题答案3.3.pdf

§3 函数极限存在的条件函数极限存在的条件 1、 叙述函数极限)(limxf x+∞→ 的归结原则,并用它证明x x coslim +∞→ 不存在. 解:设)(xf定义在),[+∞a上,则)(limxf x+∞→ 存在的充要条件是:对任何数列),[}{+∞⊂ axn, 且+∞= +∞→ n x xlim,极限)(limxf x+∞→ 都存在且相等. 证: 设πnxn2= ′ , 2 2 π π+= ″ nxn(, 3 , 2 , 1=n), 则显然有+∞→= ′ πnxn2,+∞→+= ″ 2 2 π πnxn(+∞→n), 11cos→= ′ n x,00cos→= ″ n x(+∞→n) 故由归结原则知x x coslim +∞→ 不存在. 2. 设f为定义在),[+∞a上的递增函数,证明存在的充要条件是f在),[+∞a上有上界. 证: 必要性. 由题设)(limxf x+∞→ 存在,记为A,即Axf x = +∞→ )(lim. 由局部有界性定理可得,存在),()(+∞=+∞bU,使)(xf在)(+∞U上有界,即存在M与m, 对任给)(+∞∈Ux,都有mMxf≤≤)( (1) . 又由)(xf在),[+∞a上递增知:对任给],[bax∈,有Mbfxf≤+≤) 1()((2). 由(1)(2)可得,对任一),[+∞∈ ax,有Mxf≤)(. 故)(xf在),[+∞a上有上界. 充分性 设)(xf在),[+∞a上有上界,则由确界原理知)(xf在),[+∞a上有上确界. 设)(sup ),[ xfa ax+∞∈ =,则对任给正数ε,存在),[ 0 +∞∈ ax, 又因)(xf在),[+∞a上递增,从而当 0 xx 时,有εε+ Axf)( 1 . 记0 10 −=xxδ,则当),( 0 0 δxUx − ∈时,就有 1 xx , 从而由f在)( 0 0 xU−上递增知εε−≥+AxfxfA)()( 1 . 可见, 当),( 0 0 δxUx − ∈时, εδ,由有理数与实数的稠密性可知,在),( 0 0 δxU中必有有理数 x′ 和无 理数 x′ ′ ，即),( 0 0 δxUx ∈′，),( 0 0 δxUx ∈′ ′使得1)(= ′ x D，0)(= ′ ′ x D， 于是有 0 1)()(ε=′ ′−′xDxD， 从而由柯西准则知)(lim 0 xD xx→ 不存在. 7. 证明:若f为周期函数且0)(lim= +∞→ xf x ,则0)(≡xf. 证: 假设)(xf不恒等于 0,则存在),( 0 +∞−∞∈x,使0)( 0 ≠xf, 又因f为周期函数,不妨设周期为0L,记nLxan+= 0 ,则+∞→ n a (∞→n), 由作法知0)()(lim 0 ≠= ∞→ xfaf n n (1) 又因0)(lim= +∞→ xf x ,由归结原则有0)(lim= ∞→ n n af (2) (1) 与(2)矛盾,故0)(≡xf. 8. 证明定理 3.9. 定理 3.9 设函数f在点 0 x的某个右邻域)( 0 0 xU + 有定义,则极限Axf xx = + → )(lim 0 的充要条件 是对任何以 0 x为极限且含于)( 0 0 xU + 的递减数列}{ n x有Axf n n = ∞→ )(lim. 证: 必要性 设Axf xx = + → )(lim 0 ,则对任给正数ε,存在正数δ,当δ− 0 0xx时, 有ε时, 便有δ−时, 便有ε− Axf n) (,故Axf n n = ∞→ )(lim. 充分性 (反证) 假设Axf xx ≠ + → )(lim 0 ,则存在某一个正数 0 ε,不论正数δ多小.总存在一点x 尽管δ− 0 0xx,但有 0 )(ε≥− Axf. 设),()( 000 0 δ+= + xxxU,则对 2 1 δ δ=,存在一点 1 x,使δ− 01 0xx且 01) (ε≥− Axf. 对}, 2 min{ 01 2 2 xx −= δ δ,存在 2 x使 202 0δ−xx且 02) (ε≥− Axf, 12 xx . 一般地,对取}, 2 min{ 01 xxn n n −= − δ δ,存在 n x,使得 20 0δ−xxn 且 0 )(ε≥− Axf n , 121 xxxx nn − . 这样的数列}{ n x,满足(1) ),( 0 0 nn xUxδ + ∈,且 nn xx +1 ,, 3 , 2 , 1=n (2) 0 )(ε≥− Axf n ,, 3 , 2 , 1=n 由于),( 0 0 0n xUxδ + ∈,故有0 2 0 0 →≤− n nn xx δ δ (∞→n). 因此, 0 limxxn n = ∞→ .可见 n x是以 0 x为极限的递减数列,且含于)( 0 0 xU + ,但Axf n n ≠ ∞→ )(lim, 矛盾. 。