2023年正比例函数与一次函数知识点归纳.docx

《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点一、 表达式：y=kx （k≠0的常数 ）二、 图像：正比例函数y=kx的图像是：一条通过（0,0）和（1，k）的直线；说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；三、 性质特性：1、 图像通过的象限:k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、 增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大 ，直线从左往右由高减少；k<0时，y随x增大而减小 ，直线从左往右由低升高；四、 成正比例关系的几种表达形式:1、 y与x成正比例：y=kx (k≠0);2、 y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);3、 y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);4、 y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);《一次函数》知识点一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数）注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； 　 　 （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数 二、图像：一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条通过（-，0）和（0，b）的直线。

说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特性：1、图像通过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限；（2）、k>0，b﹤0时，直线通过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线通过一、二、四象限；（4） 、k﹤0, b﹤0时，直线通过二、三、四象限；2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大 ，直线从左往右由高减少；k<0时，y随x增大而减小 ，直线从左往右由低升高；3、 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大 ，直线从左往右由高减少；k<0时，y随x增大而减小 ，直线从左往右由低升高； （2） ∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜限度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大； ∣k∣越小，直线越平缓，直线越远离y轴，与x轴的夹角越小；(3) b的作用：b决定直线与y轴的交点位置b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)； b﹤0时，直线与y轴负半轴相交（或与y轴的交点在x轴的下方）；（4）k和b的共同作用：k和b共同决定直线所通过的象限四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到当b>0时，将直线y=kx：向上平移b个单位得到直线y=kx+b；当b﹤0时，将直线y=kx：向下平移∣b∣个单位得到直线y=kx+b；五、两条直线平行和垂直： 直线m：y=ax+b; 直线n: y=cx+d（1）当a=c，b≠d时，直线m∥直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

（2）当ac=-1时，直线m⊥直线n反之也成立；例如：直线y=x+2与直线y=-2x+3互相垂直六、直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积公式: S=b22∣k∣七、求一次函数解析式的方法 ：求函数解析式的方法重要有三种 　　(1)由已知函数推导或推证 ；　　(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系； 　　(3)用待定系数法求函数解析式： 　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种拟定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中具有几个等待拟定的系数，一般就需列出几个具有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： 　　①运用一次函数的定义 构造方程组 　　②运用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 　　③运用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程 ④运用题目已知条件直接构造方程 八、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证：y与x也成正比例。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：∵与成正比例， 　　 设=a(a≠0的常数), 　 　 ∵y=, =(k≠0的常数), 　　 ∴y=·a=akx， 　 　其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例 例2．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式 　　分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等例 y=2x,y=2x+3的图象平行 　　解：∵y=kx+b与y=5-4x平行， 　　∴k=-4, 　　∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴， 　　∴b=18， 　　∴y=-4x+18 　　说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，通过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。