2011《金版新学案》高三数学一轮复习 曲线与方程随堂检测 理 北师大版.doc

用心 爱心 专心 12011《 金版新学案 》 高三数学一轮复习 曲线与方程随堂检测 理 北师大 版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1．曲线 C 的方程是 y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线 C 上的是(　　)A．(0,0) B. (15， 15)C．(1,5) D．(4,4)【解析】　∵1≤x≤5，∴C、D 中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有 D 满足．【答案】　D2．定义运算： ＝ad－bc，则符合条件 ＝0 的点 P(x，y)的轨迹方程|a　 b c　 d| |x－ 1　 1－ 2y1＋ 2y　 x－ 1|为(　　)A．(x－1) 2＋4y 2＝1　　　B．(x－1) 2－4y 2＝1C．(x－1) 2＋y 2＝1 D．(x－1) 2－y 2＝1【解析】　由定义运算 ＝ad－bc，|a　 bc　 d|∴ ＝0⇒ (x－1) 2－(1－4y 2)＝0.|x－ 1　 1－ 2y1＋ 2y　 x－ 1|∴(x－1) 2＋4y 2＝1，选 A.【答案】　A3．已知定点 A(2,0)，它与抛物线 y2＝x 上的动点 P 连线的中点 M 的轨迹方程是(　　)A．y 2＝2(x－1) B．y 2＝4(x－1)C．y 2＝x－1 D．y 2＝ (x－1)12【解析】　设 P(x1，y 1)，M(x，y)，则 y12＝x 1①又 M 为 AP 中点，∴Error!，∴Error!代入①得(2y)2＝2x－2，即 y2＝ (x－1)．12【答案】　D4．已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果 M 是线段 F1P 的中点，则动点 M 的轨迹是(　　)A．圆 B．椭圆用心 爱心 专心 2C．双曲线的一支 D．抛物线【解析】　如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a，设椭圆方程： ＋ ＝1(其中x2a2 y2b2a>b>0)．连结 MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F 1O|)，则 M 轨迹为以 F1、O 为焦点的椭圆．【答案】　B5．下列说法正确的是(　　)A．在△ABC 中，已知 A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则 AB 边上的高的方程是 x＝2B．方程 y＝x 2(x≥0)的曲线是抛物线C．已知平面上两定点 A、B，动点 P 满足|PA|－|PB|＝ |AB|，则 P 点的轨迹是双曲线12D．第一、三象限角平分线的方程是 y＝x【解析】　选项 A 符合曲线与方程概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项 B 符合(2)但不符合(1)．选项 C符合(2)但不符合(1)．选项 D 符合(1)、(2)．故选 D.【答案】　D6．打开“几何画板”软件进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个大小适中的圆 C(设圆心为 C)；②用取点工具分别在圆 C 上和圆 C 外各取一个点 A、B；③用构造菜单下对应命令作出线段 AB 的垂直平分线 l；④作出直线 AC.假设直线 AC 与直线 l 相交，且交点设为 P，当点 B 为定点，点 A 在圆 C 上运动时，点P 的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆【解析】　由作图及平面几何知识可得，PC－PB＝PC－PA＝AC 或 PB－PC＝PA－PC＝AC.从而点 P 到定点 B、C 的距离之差的绝对值是定长 AC.由双曲线定义，得点 P 的轨迹是双曲线．用心 爱心 专心 3【答案】　B二、填空题(每小题 6 分，共 18 分)7．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，过原点 O 作 OM⊥AB，垂足为 M，则点 M 的轨迹方程是________．【解析】　设 M(x，y)，∵OM⊥AB，F(2,0)．∴ · ＝0OM→ MF→ ＝(x，y)， ＝(2－x，－y)OM→ MF→ ∴x(2－x)－y 2＝0∴x 2＋y 2－2x＝0.【答案】　x 2＋y 2－2x＝08．与圆 x2＋y 2－4x＝0 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是________．【解析】　若动圆在 y 轴右侧，则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线 x＝－2 的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在 y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是 x 轴负半轴．【答案】　y 2＝8x(x＞0)或 y＝0(x＜0)9．△ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B ，C ，且满足条件 sin C－sin (－a2， 0) (a2， 0)B＝ sin A，则动点 A 的轨迹方程是________．12【解析】　由正弦定理： － ＝ × ，|AB|2R |AC|2R 12 |BC|2R∴|AB|－|AC|＝ |BC|，且为双曲线右支．12【答案】　 － ＝1(x＞0 且 y≠0)16x2a2 16y23a2三、解答题(共 46 分)10．(15 分)由拋物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q，连结顶点 O与 P 的直线和连结焦点 F 与 Q 的直线交于 R，求点 R 的轨迹方程．【解析】　设 P(x1，y 1)，R(x，y)，则 Q ，F ，(－12， y1) (12， 0)∴OP 的方程为 y＝ x，　①y1x1FQ 的方程为 y＝－y 1 ，　②(x－12)由①②得 x1＝ ，y 1＝ ，代入 y2＝2x，2x1－ 2x 2y1－ 2x可得 y2＝－2x 2＋x.用心 爱心 专心 411．(15 分)已知椭圆 C1： ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，直线 l：y＝x＋2 与以x2a2 y2b2 33原点为圆心、椭圆 C1的短半轴长为半径的圆 O 相切．(1)求椭圆 C1的方程；(2)设椭圆 C1的左焦点为 F1，右焦点为 F2，直线 l1过点 F1且垂直于椭圆的长轴，动直线 l2垂直于 l1，垂足为点 P，线段 PF2的垂直平分线交 l2于点 M，求点 M 的轴迹 C2的方程．【解析】　(1)由 e＝ ，得 ＝1－e 2＝ ；33 b2a2 23由直线 l：x－y＋2＝0 与圆 x2＋y 2＝b 2相切，得 ＝|b|.22所以，b＝ ，a＝2 3所以椭圆的方程是 ＋ ＝1.x23 y22(2)由条件，知|MF 2|＝|MP|.即动点 M 到定点 F2的距离等于它到直线 l1：x＝－1 的距离，由拋物线的定义得点 M 的轨迹 C2的方程是 y2＝4x.12．(16 分)设 m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量 a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)， a⊥ b，动点 M(x，y)的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知 m＝ ， 证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有14两个交点 A，B，且 OA⊥OB(O 为坐标原点)，并求该圆的方程．【解析】　(1)因为 a⊥ b.所以 a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，故 mx2＋y 2－1＝0，即 mx2＋y 2＝1.当 m＝0 时，该方程表示两条直线；当 m＝1 时，该方程表示圆；当 m＞0 且 m≠1 时，该方程表示椭圆；当 m＜0 时，该方程表示双曲线．用心 爱心 专心 5(2)当 m= 时，轨迹 E 的方程为+y2=1 ，设圆的方程为 x2+y2=r2(0＜r＜1)，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为 y=kx+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以=r ，即 t2=r2(1+k2)．①因为 OA⊥OB，所以 x1x2＋y 1y2＝0，即 x1x2＋(kx 1＋t)(kx 2＋t)＝0，整理得(1＋k 2)x1x2＋kt(x 1＋x 2)＋t 2＝0.②由方程组Error!消去 y 得(1＋4k 2)x2＋8ktx＋4t 2－4＝0.③由韦达定理Error!代入②式并整理得(1＋k 2) － ＋t 2＝0，即 5t2＝4＋4k 2.4t2－ 41＋ 4k2 8k2t21＋ 4k2结合①式有 5r2＝4，r＝ ∈(0,1)，255当切线斜率不存在时，x 2＋y 2＝ 也满足题意，45故所求圆的方程为 x2＋y 2＝ .45。