多项式因式分解的方法.docx

多项式因式分解的方法1引言多项式理论是高等代数的一个重要组成部分，原则上说，多项式的内容是中学代数课程中最重 要的部分.中学是以多项式的具体运算为主，从基本的概念入手，通过习题来灵活掌握多项式的方 法.大学将以多项式的理论为主，更侧重于一般性规律，比起初等代数更具抽象性.本文通过对学习中常遇到且易出错的多项式的研究，归纳总结出一些综合性的方法.将初中所学 的多项式因式分解与高等代数中所讲因式分解进行比较，找出联系，由表及里，深刻认识多项式因 式分解在数学解题中的应用.2相关概念与定理定义1[1](P27)数环R上的一个文字X的多项式或一元多项式指的是形式表达式a + a X + a X2 +... + a xn这里n是非负数，而a , a , a ,..., a 都是R中的数.0 1 2 n 0 1 2 n定义2[4]( P 2)因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式.定义3[3](P29) F[X]是数域F上的一元多项式环.f (x)g(x)是F[X]的两个多项式.若F[x]的一个多项式h(x)同时整除f (x)和g(x)，则h(x)叫做f (x)和g(x)的一个公因式.定义4⑵(P49)设p(x)是数域P上的一个次数大于等于1的多项式，如果p(X)不能表示成数 域P上两个次数比p(X)次数低的多项式的乘积，那么p(X)就称为数域P上的不可约多项式.多项式唯一因式分解定理[3](P43) F[x]的每一个n次多项式(n大于0) f (x)都可以分解成F[x]的不可约多项式的乘积，且不可约多项式的乘积的分解式是唯一的.以下几种数域经常被用到，习惯上用一些特定的字母表示，我们约定：2表示有理数域 R表示实数域 c表示复数域3因式分解的方法多项式因式分解的方法具有多样性和较强的灵活性.其中以四个基本的方法为基础：提取公因 式法、公式法、分组分解法和十字相乘法.研究多项式分解方法是建立在四种方法之上的，只有掌 握好基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大和技巧性较强的题型.在此基础上通 过讨论分析多项式的结构特点，难易程度，总结综合性的方法.对于初学者来说，能够熟练运用以 上方法即可.但要彻底的灵活掌握因式分解的方法，还要多做习题，掌握复杂的方法.多项式的研究在不同时期有不同的侧重点.初中的重点是放在因式分解的方法上；而大学更侧 重于抽象的理论，通过对理论的理解来阐释方法.近几年，随着数学奥林匹克竞赛的发展，要求我 们要在掌握基础知识的同时，学会分析和总结，灵活掌握其他方法.对于一些结构比较复杂，次数 比较高，系数比较大的多项式，仅以基本方法和拆添相法、配方法是无从下手的.所以探讨综合性 的方法是很必要的.在初中所讲因式分解时，要求分到不可再分，即在相应的一元多项式环上分解成不可约多项 式.如：x4 - 4 = (X2 - 2)(X2 + 2)此式就是Q[x]上的因式分解.其中x2 + 2和x2 - 2即为Q[x]上 的不可约多项式.但考虑R[x]，很显然x2 -2是可约多项式，它可进一步分解为(x f2)(x +^2)， 此时x2 + 2, x- S,x +V2都是R[x]上的不可约多项式.在C[x]上多项式还可进一步分解为 (x-克i)(x +42i)(x -巨)(x +巨).所以在进行因式分解时，首先必须明确所给数域，然后在相 应数域多项式环上因式分解.下面介绍的几种方法具有很大的综合性和灵活性，需要对所学的知识 综合利用，融会贯通.3.1主元法在多元多项式中，选择其中某一个变元为主要元素，把其他变元看做常量，将原式重新排列.它 能使多项式的排列有序化，从而简化问题，再进行因式分解.例1 因式分解：2x3 - x2z 一 4x2y + 2xyz + 2xy2 - y2z.分析：此多项式比较复杂含有三个变元，以y作为主元，依次写出他的二次系数，一次系数和 常数项.多项式就一目了然了，然后再用其他方法进行因式分解.2 x 3 一 x 2 z 一 4 x 2 y + 2 xyz + 2 xy 2 - y 2 z=(2x - z)y2 + y(2xz - 4x2) + (2x3 - x2z) =(2x - z) y 2 + y (z - 2x)2x + x2 (2x - z) =(2x - z)(x - y)23.2利用特殊值法将2或10代入多项式x中求出数P，将数P分解质因数，适当的组合，并将组合后的每一个因 数写成2或10的和与差的形式，然后将2或10还原成x的因式分解.此方法比较麻烦需要熟悉因 数分解.例 2 因式分解：x3 + 9x2 + 23x +15.分析：可令X = 2代入多项式中即X3 + 9X2 + 23X +15 =105 .将105分解成3个质因数的 积，105 = 3 x5 x 7 .注意到多项式中最高项的系数为1,而3,5,7分别为x +1,x + 3,x + 5 ,在X = 2 时的值，则原式可能分解为(x +1)(x + 5)(x + 3)进一步验证，可得最后结果.所以 x 3 + 9 x 2 + 23x +15 = ( x +1)( x + 5)( x + 3)3.3待定系数法待定系数法是数学中常用的方法，用途十分广泛.在因式分解中就是首先设出几个含有待定系 数的因式，然后根据多项式恒等和方程组来确定待定系数，从而因式分解.要求我们会熟练计算方 程组.例 3 因式分解：X3 + y3 + z3 - 3xyz.分析：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式.当x = -(y + z)时，原式=0 .所以原式含有(x + y + z)的因式.余下的必为2次对称式，设成m( X 2 + y 2 + z 2) + n( xy + zy + zx)，所以 X 3 + y 3 + z 3 — 3 xyz = (x + y + z)[ m( x 2 + y 2 + z 2) + n( xy + zx + yz)]比较三次项系数得m = 1,又当x = 1,y = 0,z = 1时，得2 = 2(2 + n) .所以n = -1.x3 + y 3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y 2 + z2 - xy - yz - xz).3.4构造法构造法是近几年发展起来的一种解题方法，它的主要特点是“构造”即通过构造中介性辅助元 素，沟通数学题的条件与结论或条件与问题的内在联系，使原题得以解决.它的使用范围很广，是 数学解题中的一种重要方法.在分解因式时，通过适当构造，可简化分解难度.例 4 因式分解：x2 + 2xy — 8y2 + 2x +14y — 3.分析：x2 + 2xy - 8 y 2 + 2x +14 y - 3 = x2 + 2( y +1)x - 8 y 2 +14 y - 3.令原式=0,x + x =-2(y +1)(其中x ,x分别为关于的x方程两根)，1 2 1 2设X1 = -(y +1) + k,x2 = -(y +1) 一k (构造对偶式)，又x x = (y +1)2 - k2 = -8y2 +14y - 3，所以 k 2 = (3 y - 2)2 得 X] = 2 y 一 3, x 2 = -4 y +1，x2 + 2xy - 8y 2 + 2x +14y 一 3 = (x - 2y + 3)(x + 4y -1)3.5换元法在对比较复杂的多项式进行因式分解时，容易造成思路混乱，若把其中某些部分看成一个整体， 用新字母代替，能使复杂问题简单化，明朗化，在减少多项式的项数，降低多项式的结构复杂程度 等方面有独到的作用.这也就是换元思想在因式分解中的应用.我们可以进行一元代换(包括常值 代换和式的代换)，二元代换.3.5.1常值代换例 5 因式分解：1999x2 - (19992 -1)x -1999 .分析：初看此题式中系数较大，感觉无从下手，但可知每个式子中都有1999，我们不妨把数用 字母表示.设 1999 = a，则 1999x2 - (19992 -1)x -1999=ax 2 — (a 2 — 1) x 一 a=ax 2 — a 2 x + x 一 a =(x - a)(ax +1)所以 1999x2 - (19992 -1)x-1999 = (x-1999)(1999x +1)3.5.2式的代换例 6 因式分解：(2a + 5)(a2 - 9)(2a - 7) - 91.分析：形如abcd + e的多项式，分解这类多项式时，把4个因式按最小最大，中间两两分组， 使得分组相乘后所得的因式中的相同部分设为新字母，易于分解.(2a + 5)(a 2 - 9)(2a - 7) - 91=[(2a + 5)(a - 3)][(a + 3)(2a - 7)] - 91 =(2a2 - a - 15)(2a2 - a - 21) - 91.设 2a2 - a -15 = m,则原式=m(m 一 6) 一 91 = (m -13)(m + 7)=(2a2 - a -15 - 13)(2a2 - a -15 + 7)=(2a + 7)(a - 4)(2a2 - a - 8).3.5.3 二元代换例 7 因式分解：◎(xy + D + (◎ + 3) 一 2(x + y + —) -(x + y -1)2.解设 xy = a, x + y = b.xy( xy +1) + (xy + 3) — 2( x + y + ；) — (x + y — 1)2=a(a +1) + (a + 3) - 2(b + 上)—(b -1)22=a 2 + a + a + 3 - 2b -1 - b 2 + 2b -1 =(a +1)2 - b 2=(a + b + 1)(a +1 一 b)=(xy + x + y +1)( xy — x — y +1) =(x +1)( y +1)( y —1)( x — 1))我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问 题.例 8 因式分解：(x - 2)3—(y - 2)3—(x - y)3解令 m = x - 2, n = y - 2,所以 m - n = x - y.(x - 2)3 - (y - 2)3 - (x - y)3=m3 - n3 - (m - n)3=(m - n)(m 2 + mn + n 2) - (m - n)3=(m - n)(m2 + mn + n2 - m2 + 2mn - n2)=3(m - n)mn=3( x - y)(x - 2)( y - 2)此题是在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的.3.6对称法主要谈的是对称式的性质及对称点坐标间的关系的运用.所谓关于某些字母的对称代数式，是 指把式中的字母互换，所得的代数式和原代数式恒等这类代数式，如式 ax + ay,ax2 + bxy + ay2,ax3 + bx2y + bxy2 + ay3分别称作关于x,y的一次对称多项式，二次对称多项式，三次对称多项式.又如a(x2 + y2 + z2) + b(xy + yz + xz)称作关于x,y,z的二次对称多项 式.运用对称式的性质“几个对称式的和，差，积，商仍是对称式”做对称多项式的因式分解题较 为方便.例9 因式分解：(a — b)5 + (b — c)5 + (c — a )5.分析：(a — b)5 + (b — c)5 + (c — a)5为关于a,b,c的五次对称多项式，易见当a = b时，原式为0 .所以a -b是原式的一个因。