中考数学压轴之阿氏圆模型教案.pdf

COB A P 母子型相似（共角共边） C A B P 中考数学压轴之阿氏圆模型教案 教学目标：理解阿氏圆定义，构造子母三角形相似，会求形如AP+PB 2 1 的最小值 教学重点：掌握构造子母三角形相似的方法，阿氏圆问题的解答步骤 教学难点：灵活构造子母三角形相似 教学过程： 已知平面上两定点C、B，则所有满足k PB PC = ( k 不等于 1)的点 P的轨迹是一个圆， 这个轨迹 最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆 在初中的题目中往往利用逆向思维构造 斜 A型相似 (也叫母子型相似 )+ 两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题 在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆 A上运动时， PC 、PB的长在不断的发生变化，但 PC PB 的比值却始终保持不变 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法 如图，在 APB的边 AB上找一点 C ，使得 AP AC AB AP =，则此时 APC ABP 那么如何应用 阿氏圆 的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目 : 2.例题讲解：已知 AOB=90 ，OB=4,OA=6 ，C半径为 2，P为圆上一动点 . 求：BPAP 2 1 +的最小值为BPAP+ 3 1 的最小值为 第（1）问解题基本步骤：构造OPC OBP, 则k OP OC OB OP BP PC =（相似比） 分别连接圆心 O与系数不为 1 的线段 BP的两端点，即 OP ，OB; 计算 OP OB 的值，则 2 1 = OB OP k（ 半径 圆心到定点的距离 ） 计算 OC的长度，由k= OP OC 得：OPOC 2 1 =（相似比半径） 连接 AC ，当 A、P、C三点共线时，ACPCAPBPAP=+=+ 2 1 计算 AC的长度即为最小值 . 总结归纳：“阿氏圆”的解答步骤 y x O C B A P D C B O A P x y B O A P 第一步：连接圆心和动点O （将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连） ， 则连接 OP,OB 第二步：计算出所连接的两条线段OP,OB 的长度 . 第三步：计算出这两条线段的比 OB OP =k . 第四步：在 OB上取点 C,使得 OB OP OP OC =. 第五步：连接 AC,与圆 O交点即为点 P. 当堂练习： 1、已知 O半径为 1，AC 、BD为切线， AC=1 ，BD=2 ，P为弧 AB上一动点， 试求PDPC+ 2 2 的最小值 2、已知点 A（4，0） ，B（4，4） ，点 P在半径为 2 的O上运动，试求BPAP+ 2 1 的最小值 3、已知点 A(-3,0) ，B（0,3 ） ，C （1,0 ） ，若点 P为C上一动点，且 C与 y 轴相切， （1）BPAP+ 4 1 的最小值 ; （2） PAB SV的最小值 . 4、如图 1，在平面直角坐标系xoy 中，半 O交 x 轴与点 A、B(2,0) 两点，AD 、BC均为半 O 的切线， AD=2 ，BC=7. (1) 求 OD的长； （2）如图 2，若点 P是半 O上的动点， Q为 OD 的中点 . 连接 PO 、PQ. 求证： OPQ ODP; 是否存在点 P，使PCPD2+有最小值，若存在，试求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由 . 5、 （1）如图 1，已知正方形 ABC的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P是圆 B 上的一个动点， 求PCPD 2 1 +的最小值和PCPD 2 1 -的最大值 . (2) 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B的半径为 6，点 P是圆 B上的一个动点，那么 PCPD 3 2 +的最小值为；PCPD 3 2 -的最大值为 （3）如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2. 点 P是圆 B上的一个 动点. 那么PCPD 2 1 +的最小值为；PCPD 2 1 -的最大值为 课后作业： 6、 （2016 年 济南 28 题）如图1，抛物线yax 2(a3)x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴 交于点 B，在 x 轴上有一动点E（m，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于 点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （ 1）求 a 的值和直线AB 的函数表达式； （ 2）设 PMN 的周长为C1， AEN 的周长为 C2，若 1 2 C C 6 5 ，求 m 的値； （ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，将线段OE 绕点 O 逆时针旋转得到OE，旋转角为 (0 90 )，连 接 E A、E B，求 E A 2 3E B 的最小值 第 28 题图 1 x y M N P B A O E 第 28 题图 2 x y M N P B A O E E 7、 （2017 年 遵义 27 题） 如图，抛物线y=ax 2+bxab（a0，a、 b 为常数）与 x 轴交于 A、C两点， 与 y 轴交于 B点，直线 AB的函数关系式为y= 8 9 x + 16 3 （1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标； （2）已知点M （m ，0）是线段OA上的一个动点，过点M作 x 轴的垂线l 分别与直线AB和抛物线交于D、 E两点，当m为何值时， BDE 恰好是以DE为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下， 当BDE恰好是以 DE为底边的等腰三角形时，动点 M相应位置记为点M ，将 OM 绕原点 O顺时针旋转得到ON （旋转角在0到 90之间）； i ：探究：线段OB上是否存在定点P （ P不与 O、B重合） ，无论 ON如何旋转， NP NB 始终保持不变，若存在， 试求出 P点坐标；若不存在，请说明理由； ii ：试求出此旋转过程中，（NA+3 4 NB ）的最小值 。