备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题13不等式B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足a2+4b+9c2=4b+12c-2,求1a+2b+3c的最小值.【答案】6【解析】由题设条件得a2+(2b-1)2+(3c-2)2=3,由柯西不等式可得：3[a2+(2b-1)2+(3c-2)2]⩾(a+2b-1+3c-2)2,即(a+2b+3c-3)2≤9,故a+2b+3c≤6.又由柯西不等式得(1a+2b+3c)(a+2b+3c)⩾(1+2+3)2,所以1a+2b+3c⩾36a+2b+3c⩾6,当a=b=c=1时等号成立.故1a+2b+3c的最小值是6.2．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式x2-kx-m⩽1对所有x∈[a，b]成立.证明:b-a⩽22.【答案】证明见解析【解析】令f(x)=x2－kx－m，x∈[a，b]则f(x)∈[－1，1].于是f(a)=a2-ka-m⩽1 ①f(b)=b2-kb-m⩽1 ②fa+b2=a+b22-k⋅a+b2-m⩾-1 ③由①+②－2×③知，(a-b)22=f(a)+f(b)-2fa+b2⩽4，故b-a⩽22.3．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设x1,x2,x3是非负实数，满足x1+x2+x3=1，求x1+3x2+5x3x1+x23+x35的最小值和最大值.【答案】最小值为1；最大值为95.【解析】由柯西不等式x1+3x2+5x3x1+x23+x35⩾(x1⋅x1+3x2⋅x23+5x3⋅x35)2=x1+x2+x32=1，当x1=1,x2=0,x3=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为1.因为x1+3x2+5x3x1+x23+x35=15x1+3x2+5x35x1+5x23+x3⩽15⋅14x1+3x2+5x3+5x1+5x23+x32=1206x1+143x2+6x32⩽1206x1+6x2+6x32=95.当x1=12,x2=0,x3=12时不等式等号成立，故欲求的最大值为95.4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设不等式2x-a<5-2x对所有x∈[1，2]成立，求实数a的取值范围.【答案】30.由条件知x+y2=z,x2+y=z2，故z2-y=x2=z-y22=z2-2y2z+y4.因此，结合平均值不等式可得z=y4+y2y2=142y2+1y+1y⩾14⋅332y2⋅1y⋅1y=3432.当2y2=1y，即y=132时，z的最小值为3432(此时相应的x值为324，符合要求).由于c=log2z，故c的最小值为log23432=log23-53.6．【2013高中数学联赛（第01试）】给定正数数列{xn}满足Sn⩾2Sn-1,n=2,3,⋯，这里Sn=x1+⋯+xn.证明：存在常数C>0，使得xn⩾C⋅2n (n=1,2,⋯).【答案】证明见解析【解析】当n≥2时Sn⩾2Sn-1，等价于xn⩾x1+⋯+xn-1 ①对常数c=14x1，用数学归纳法证明xn⩾C⋅2n (n=1,2,⋯) ②n=1时结论显然成立.又x2⩾x1=C⋅22，对n≥3，假设xk⩾C⋅2k (k=1,2,⋯,n-1)，则由式①知xn⩾x1+x2+⋯+xn-1⩾x1+C⋅22+⋯+C⋅2n-1=C22+22+23+⋯+2n-1=C⋅2n.所以，由数学归纳法知，式②成立.7．【2009高中数学联赛（第01试）】求函数y=x+27+13-x+x的最大值和最小值.【答案】y的最小值为33+13；最大值为11.【解析】函数的定义域为[0，13].因为y=x+x+27+13-x=x+27+13+2x(13-x)⩾27+13=33+13，当x=0时，等号成立，故y的最小值为33+13，又由柯西不等式得y2=(x+x+27+13-x)2⩽12+1+13[2x+(x+27)+3(13-x)]x=121，所以y⩽11，由柯西不等式等号成立的条件，得4x=9(13-x)=x+27，解得x=9.故当x=9时，等号成立.因此y的最大值为11.8．【2008高中数学联赛（第01试）】解不等式log2x12+3x10+5x8+3x6+1<1+log2x4+1.【答案】--1+52,-1+52【解析】解法一由1+log2x4+1=log22x4+2且log2y在(0，+∞)上为增函数，故原不等式等价于x12+3x10+5x8+3x6+1<2x4+2，即x12+3x10+5x8+3x6-2x4-1<0，分组分解x12+x10-x8+2x10+2x8-2x6+4x8+4x6-4x4+x6+x4-x2+x4+x2-1<0，可得x8+2x6+4x4+x2+1x4+x2-1<0，所以x4+x2-1<0，即x2--1-52x2--1+52<0，所以x2<-1+52，即--1+52x6+3x4+3x2+1+2x2+2=x2+13+2x2+1，则1x23+21x2>x2+13+2x2+1，令g(t)=t3+2t，则不等式转化为g1x2>gx2+1，显然g(t)=t3+2t在R上为增函数，由此原不等式等价于1x2>x2+1，即x22+x2-1<0，解得x2<5-12，故原不等式解集为(-5-12,5-12).9．【2003高中数学联赛（第01试）】设32⩽x⩽5，证明不等式2x+1+2x-3+15-3x<219.【答案】证明见解析【解析】由于(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)⩽4a2+b2+c2+d2，因此a+b+c+d⩽2a2+b2+c2+d2(当且仅当a=b=c=d时取等号).取a=b=x+1,c=2x-3,d=15-3x，则2x+1+2x-3+15-3x⩽2(x+1)+(x+1)+(2x-3)+(15-3x)=2x+14⩽219，因为x+1,2x-3,15-3x不能同时相等.所以2x+1+2x-3+15-3x<219.10．【2000高中数学联赛（第01试）】设Sn=1+2+3+…+n，n∈N，求f(n)=Sn(n+32)Sn+1的最大值.【答案】50【解析】由题意得Sn=n(n+1)2，f(n)=Sn(n+32)Sn+1=n(n+2)(n+32)=nn2+34n+64=1n+64n+34⩽150，f(8)=50，故f(n)的最大值是50.11．【1992高中数学联赛（第01试）】求证：160,ay>0，有ax+ay⩾2ax⋅ay=2ax+y2，从而logaax+ay⩽loga2ax+y2.现有loga2ax+y2=loga2+x+y2=loga2+12x(1-x)⩽loga2+12122=loga2+18.故得所证不等式.13．【1988高中数学联赛（第01试）】已知a，b为正数，且1a+1b=1，试证：对每一个n∈N,(a+b)n-an-bn⩾22n-2n+1.【答案】证明见解析【解析】解法一(1)n=1时，左边=0=右边，命题成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即有(a+b)k-ak-bk⩾22k-2k+1.于是，当n=k+1时，左边=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk.所以1a+1b=1.故ab=a+b.又(a+b)1a+1b⩾4，故ab=a+b⩾4，akb+abk⩾2akbkab⩾2⋅2k+1=2k+2.所以，左边⩾422k-2k+1+2k+2=22k+2-2k+2=右边.由情形(1)及(2)，对一切n∈N，不等式成立.解法二由条件a+b=ab⩾2ab，ab⩾4.所以(a+b)n-an-bn=k=1n-1Cnkakbn-k=12k=1n-1Cnkakbn-k+Cnn-kan-kbk⩾k=1n-1Cnkakbn-kCnn-kan-kbk=k=1n-1Cnk(ab)n2⩾2nk=1n-1Cnk=22n-2n+1.优质模拟题强化训练1．设x、y、z是正实数,满足 xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是______.【答案】127【解析】由已知条件得z=z(x+y+z)则x+y+z=1于是, xyz≤(x+y+z3)3=127.当x=y=z=13时,上式等号成立.故xyz的最大值是127.2．已知xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为____________ .【答案】3【解析】由已知条件有12=xyz+y+z⩾33xy2z2，xy2z2⩽64，则log4x+log2y+log2z=log4(xy2z2)⩽log464=3，当且仅当x=14，y=z=4时取得最大值3.故答案为：3．3．已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为____________ .【答案】3+12【解析】解法一：设x+2y=λ1(2x+y)+λ2(y+1)+t，可解得λ1=12,λ2=32,t=-32，从而x+2y=12(2x+y)+32(y+1)-32=[12(2x+y)+32(y+1)](12x+y+1y+1)-32⩾3+12，当且仅当x=12+33,y=33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a2x+b2y⩾(a+b)2x+y，1=12x+y+33y+3⩾(1+3)22x+4y+3⇒2x+4y+3⩾4+23，所以x+2y⩾3+12，当且仅当x=12+33,y=33时取等号.故答案为：3+12．4．设x,y,z∈R+，且xyzx+y+z=1.则x+yx+。
