优等生数学 七年级.pdf

’(!)*!!! 七年级 “!“#$ “%$&’ “()*+ “,-./ “0123 华 东 师 范 大 学 出 版 社 0!!!! 目 !! ! 录 ! ! ! 第一章!有理数!0 . ! 比比大小!0 ) ! 凑整法!! / ! 赋值法解题!2 0 ! 求绝对值的值!1 , ! 借助数轴解绝对值问题!0 0 1 ! 利用绝对值的非负性解题!0 ! + ! 含有字母的绝对值的化简!0 2 2 ! 裂项求和!0 3 - ! 探索数的规律!0 4 第二章!整式的运算!# # . * !整式的加减及其应用!# # . . !整式的乘法及其应用!# : . ) !待定系数法!# “ . / !整式的除法!# 1 第三章!一元一次方程!! $ . 0 !含参数的一元一次方程!! $ . , !从整体考虑!! # . 1 !列方程解应用题!! : . + !商品销售问题!! “ . 2 ! 行程问题!! 1 . - ! 工程问题!: 0 ) * ! 浓度问题!: : ) . !含绝对值的方程!: “ #!!!! ) ) !利用一元一次方程无穷多解解题!: 1 ) / !设而不求的未知数!2 $ ) 0 !二元一次不定方程!2 # ) , !二元一次不定方程的应用!2 : 第四章!图形认识初步!2 “ ) 1 ! 线段的长!2 “ ) + !两点之间“ 线段最短!2 1 ) 2 !有多少条线段!“ 0 ) - !图形的个数!“ ! / * !求角的度数!“ 2 / . !棋盘的覆盖!“ 3 / ) !染色帮助解题!3 $ 第五章!相交线与平行线!3 # / / ! 添平行线!3 # / 0 !三线八角问题!3 2 / , !平行线间的距离相等!3 3 / 1 !直线分平面!3 4 / + ! 圆分平面!1 0 第六章!平面直角坐标系!1 ! / 2 !确定点所在的象限!1 ! / - !点到坐标轴的距离!1 2 0 * !坐标方法的简单应用!1 3 0 . !格点与面积!4 $ 第七章!三角形!4 ! 0 ) !巧用内角和定理!4 ! 0 / !巧用外角和定理!4 2 0 0 !三角形边与边的关系!4 1 0 , !三角形的面积!0 $ 0 第八章!二元一次方程组!0 $ ! 0 1 !方程组的解的个数!0 $ ! 0 + ! 消元法!0 $ “ !!!!! 0 2 !连比式“ 看比值!0 $ 1 0 - !运用错解求正解!0 0 0 , * !含绝对值的方程组!0 0 : , . ! 鸡兔同笼!0 0 “ , ) ! 猴子分桃!0 0 1 第九章!不等式与不等式组!0 # $ , / ! 安排住宿!0 # $ , 0 !含参数的不等式!0 # # , , !不等式的整数解!0 # 2 , 1 !含绝对值的不等式!0 # 3 , + !方程与不等式!0 # 4 第十章!数据的收集与整理!0 ! # , 2 !平均分的误导!0 ! # , - !可能性有多大 !0 ! 2 1 * !游戏公平吗!0 ! 1 综合测试!一“ #0 : 0 综合测试!二“ #0 : : 参考答案!0 : 3 书书书 第 一 章 ! 有 理 数 !!!!!!!!! !! ! ! 比比大小 比较有理数的大小! 首先进行正负数的比较! 负数一定小于非负数“ 正 数和零# ! 正数一定大于非正数“ 负数和零# ! 然后再进行同号的有理数的比 较! 对于两个负有理数! 可先变为两个正有理数进行比较! 然后就知道两个 负有理数的大小了! “ !#比较大小$ ! “ “! “ # $! % $ ! % % “ &#比较大小$ & “! “’ $! “! ’ & “ !“! ( ! % ! ! & ! # ! “ !#因为 ! “ “ #! “$) “$) #% $ ! $ ! “ # $ #“ #$& $$& #% $ ! ) ! 因为% $ ! $“ % $ ! %“ % $ ! ) ! 所以! “ “ “% $ ! %“ “ # $! “ &#把’个数的分子化为相同! 可得这’个数为 ) ( # ( !“) ( # ) !“) ( # & !“) ( ! ( & ! ) ( # ’ ! 而 ) ( # (# ) ( # ’ !) ( ! ( &“ ) ( # )“ ) ( # & ! 所以! 这’个数的大小依次为“! ’ & “““ ’ $ ““! ( ! %“ ! & ! #“ & “! !!!! !“!!!! 比较分数的大小! 一般来说是先通分! 再比较分子的大小! 但是! 有的时 候! 分母的最小公倍数比较大! 而分子的最小公倍数比较小! 这时我们可以 换一个角度思考! 把这些分数的分子化为相同的数! 再比较分母的大小! ! “ 比较大小$“! ’ ! #和“ ! ! ! ’ ! # “比较%# ! & ( ! ( &“& ( ! (&*与’# ! & ( ! ( &“& ( ( #$& ( ! (&& ( ( #&的 大小! $ “ 有$个数! 其中的)个数是$ ’ #! ( ! ’ ! &! & * * % ! ! “ & ’ !( ! ’ & ! &! & “! 如果从 小到大排列! 第*个数是( ! ’ ! &! 那么从大到小排列! 第*个数是多少’ % “ 设 (是正整数! 且使得 ! !&(& ! *&(& ! #&($ ! %! 求(的最大值! #!!!! “ ! 凑整法 在平时的计算中! 我们经常会遇到数字比较复杂的计算题! 如果( 硬算) 的话! 费时又容易出错! 这时就需要用一些巧算的方法! 把按常规计算起来 比较复杂的运算变得简单* 快捷!( 凑整法) 就是一种非常有效的简便算法! 计算$“ !#& ( ! ($& ! ’&& ( ! !)( ! ’“& ( ! &$! ! & ’% “ &#$ ( $$) ! & ’“* ( *$% ! ’ ! “ !#注意到& ! ’$*#! (!( ! ’$&#!!! ! & ’$$#! (!所以对原式中 的& ! ’ !( ! ’!! ! & ’分别乘以再除以*!&!$!从而简化计算! 原式#& ( ! ($“& ! ’$*#)*&& ( ! !$&)“( + ’$&#“& ( ! &$ “ ! + & ’$$#)$ # & ( ! ($! ()*&& ( ! !$&)!“& ( ! &$! ()$ # ’ ( & ’&* ( & &“& ’ ! ’ # ) ’ “ & ! “ &#$ ( $可以表示为“$ ( ( & $# !* ( *可以表示为“* ( ( & *# ! 它们分别含有 因数$和*! 可以与! ! & ’和& ! ’进行凑整! 使计算简便! 原式#$ ( $$! ! & ’$’“* ( *$& ! ’$“ #“$ ( (&$#$! ! & ’$’““* ( (&*#$& ! ’$“ #“! ( (&!#$$$! ! & ’$’““! ( (&!#$*$& ! ’$“ # ! ( !$! ($’“! ( !$! ($“ # ! ( !$! ($& # & ( & ( ! $!!!! ( 凑整法) 是最常见的一种运算技巧! 通过乘以再除以一个较小的正整 数! 利用乘法结合律! 将乘数凑成整十* 整百* 整千++的数! 使复杂的计算 变得简便! 有些题目很难看出凑整的可能! 所以! 需要我们细心观察! 牢记 & ’$ *#! ( (!! & ’$$#! ( ( (等计算结果! 而且要对& ’*! & ’的倍数非常熟悉! ! “ 计算$* ! *$( ! ’&) ! ))( ! & ’&$ ! $$! ! & ’ ! # “ 计算$ “ “( ! ) & ’# “$ “ # * ’ % $$ *$ “! “# ! * $ ! $ “ 计算$$* %)*&! & #)( + % ’&) ! ’$& ’ ! % “ 计算$“ % ’$! “ &$* ( * ! %!!!! # ! 赋值法解题 所谓( 赋值法) 解题! 就是对原本与数量无关的问题巧妙地赋予某些特 殊的数值“ 如, !*(等# ! 将其转化成数量问题! 然后通过对整数的正负号或 奇偶性等性质的讨论! 使问题得以解决! 先看下面这个问题! 有! !枚硬币! 正面朝上放在桌子上! 现在规定每次翻动其中*枚! 问能 否经过有限次翻动! 使所有的硬币都正面朝下’ 本题是一个操作性的开放性问题! 如何将这个操作过程量化表示呢’ 这里我们提供两种解决方案$ 解法一!通过对整数正负号的讨论解决问题! 对正面朝上或朝下的硬币( 赋值) $记正面朝上为(-!) ! 正面朝下为 (. !) ! 开始时! 由于! !枚硬币均为正面朝上! 所以这! !枚硬币的值的乘积 为(- !) ! 一枚硬币每翻动一次! 它的值就乘以(.!)! 那么! 每一次翻动*枚硬 币! 这四枚硬币的值都分别乘以(.!) ! 而其他硬币的值不变! 所以这! !枚 硬币的值的积是不变的! 所以无论翻转多少次! 这些硬币的值的乘积都为 (- !)! 而题目要求经过翻转后! 所有的硬币都正面朝下! 即! !枚硬币的值都 是(. !) ! 此时! 这些硬币的乘积为( .!)! 所以! 不论经过多少次翻转! 都无 法将所有硬币正面朝下! 解法二!通过对整数奇偶性的讨论解决问题! 同样! 我们对正面朝上或朝下的硬币( 赋值) $记正面朝上为(- !) ! 正面 朝下为( () ! 开始时! 由于! !枚硬币均为正面朝上! 所以这! !枚硬币的值的 &!!!! 和为( ! !) ! 是奇数! 一枚硬币每翻动一次! 它的值的奇偶性就会改变! 那么! 每一次翻动* 枚硬币! 这! !枚硬币的值的和的奇偶性都改变了四次! 与原奇偶性相同! 所 以无论翻转多少次! 这些硬币的值的和都为奇数! 而当所有的硬币都正面朝下时! 这些硬币的值的和为( () ! 是偶数! 所 以! 不论经过多少次翻转! 都无法将所有硬币正面朝下! 用赋值法解决此类问题时! 只能用于否定的情况! 关键是要找到在操作 过程中某一个“ 或几个# 不变的量“ 如正负性* 奇偶性等# ! 通过赋值! 使操作 前的量与题目最终要求的量不等! 推出矛盾! 进而得到否定的结论! 注意! 如 果结论是肯定的! 则需要给出具体的操作过程! ! “ 有一只渡船往返于一条小河的左右两岸之间! 若最初渡船是在左 岸! 它过河& ( ! (次之后! 是停在左岸还是右岸呢’ # “桌上放五个杯子! 杯口朝上的有&个! 朝下的有“个! 每次翻动*个 杯子! 问能否翻动若干次后! 将杯口全部朝上’ ’!!!! $ “ 教室里有’排椅子! 每排’张! 每张椅子上坐一个学生! 如果一周 后! 每个学生都必须和他相邻“ 前* 后* 左* 右# 的某一同学交换座位! 问可以 完成座位调换吗’ % “ 在例题中! 如果改为! &枚硬币! 结论是怎样的呢’ 如果改为每次 翻动“枚! 结论又是怎样的呢’ 你能发现什么规律吗’ (!!!! $ ! 求绝对值的值 绝对值是初中代数中的一个基本概念! 在求绝对值的值时! 需要( 分类) 讨论! 常常用( 零点分段法)! 化简$&*&! & *“! & * * ! 本题中有三个绝对值! 解题的关键是如何同时去掉绝对值符号! 若分别 去掉每个绝对值符号! 则是很容易的事!例如! 化简 &*&!!只要考虑 &*&!的正负! 即可去掉绝对值符号! 这里我们是分*$“! & 与*““! & 两 种情况加以讨论的! 此时*#“! & 是一个分界点!类似地! 对于* “! 而 言!*#!是一个分界点! 对 *!*#(是一个分界点! 为同时去掉三个绝 对值符号! 我们把三个分界点“! &! (和!标在数轴上! 把数轴分为四个部 分! 即 *““! &! “! & %* “( ! (“ * “! !* $! ! 这样我们就可以分类讨论化简了! “ !#当*““! & 时! 原式#““&*&!#““*“!#& *。