2019年考研数学三真题与解析(可编辑修改word版).doc

2019年考研数学三真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当时，若与是同阶无穷小，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】当时，，所以，所以．2．已知方程有三个不同的实根，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【详解】设，则令得且，也就是函数在处取得极大值，在处取得极小值；由于方程有三个不同实根，必须满足，也就得到．3．已知微分方程的通解为，则依次为（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出是特征方程的实根，从而确定；（2）显然，是非齐次方程的特解，代入原方程确定．4．若级数绝对收敛，条件收敛，则（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）收敛 （D）发散 （注：题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（C）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（C）一定正确．题目就不科学了．【答案】（B）【详解】由于条件收敛，则，也就是有界；从而，，由正项级数的比较审敛法，绝对收敛．5．设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组基础解系中只有两个向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【详解】线性方程组基础解系中只有两个向量，也就是，所以．6．设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和．而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型的规范型为．7． 设为随机事件，则的充分必要条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；对于选项（C），显然，由，8．设随机变量与相互独立，且均服从正态分布．则（ ）（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关（C）与，都有关 （D）与，都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而只与有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． ．【答案】解： 10．曲线的拐点坐标是（ ）【答案】【详解】，，，；令得，且，所以是曲线的拐点；而对于点，由于，而，所以不是曲线的拐点．11. 已知函数，则 ．【答案】．【详解】（1）用定积分的分部积分：（2）转换为二重积分：12．以分别表示两个商品的价格．设商品的需求函数，则当时，商品的需求量对自身价格弹性 ．【答案】【详解】，当时，则边际需求，商品的需求量对自身价格弹性为．13．已知矩阵．若线性方程组有无穷多解，则 ．【答案】．【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：显然，当且仅当时，线性方程组有无穷多解．14．设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则 ．【答案】【详解】，．．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数，求，并求函数的极值．【详解】当时，，；当时，，；在处，，所以在处不可导．综合上述：；令得到．当时，，当时，，当时，，当时，；故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为．16．（本题满分10）设函数具有二阶连续的偏导数，函数，求．【详解】，，，；．17．（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解．（1）求的表达式；（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得，，也就是通解为：把初始条件代入，得，从而得到（2）旋转体的体积为．18．（本题满分10分）求曲线与轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与轴的交点：令得当时，；当时，．由不定积分可得，所求面积为19．（本题满分10分）设（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限．【详解】（1）证明：，当时，显然有，，所以数列单调减少；先设则当时，也就是得到令，则同理，综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；（2）由（1）的结论数列单调减少，且令，由夹逼准则，可知．20．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：；向量组Ⅱ：．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数的值，并将用线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是（1）当时，显然， ，两个向量组等价．此时，，方程组的通解为，也就是，其中为任意常数；（2）当时，继续进行初等行变换如下：显然，当且时，，同时，，也就是，两个向量组等价．这时，可由线性表示，表示法唯一：．21．（本题满分11分）已知矩阵与相似．（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得．（2）解方程组得矩阵的三个特征值；分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关的特征向量为：．令，则可逆，且；同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：．令，则可逆，且；由前面，可知令，就满足．22．（本题满分11分）设随机变量相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为：，，．令．（1）求的概率密度；（2）为何值时，不相关；（3）此时，是否相互独立．【详解】（1）显然的概率密度函数为．先求的分布函数：再求的概率密度：（2）显然；由于随机变量相互独立，所以；；；要使不相关，必须，也就是时不相关；（3）显然不相互独立，理由如下：设事件，事件，则；；，当时，显然，也就是显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体的概率密度为，其中是已知参数，是未知参数，是常数，是来自总体的简单随机样本．（1）求常数的值；（2）求的最大似然估计量．【详解】（1）由可知所以．似然函数为，取对数，得解方程，得未知参数的最大似然估计量为．5。