2020重庆邮电大学矩阵分析试题及答案.docx

精品资料可编辑第一套试题（10分）、设 是数域F上的线性空间V的线性变换，Xi, X2, X3分别为 的三个互不相同的特征值1, 2, 3的特征向量1）证明：Xi, X2, X3是线性无关的;（2）证明：X1+ X2 + X3不是的特征向量二（10分）、求 矩阵（2）2A（）（2）的Smith 标准形三（10分）、求矩阵A1 1 12 0 1 的Jordan标准形.1 i 0四（12分）、设有正规矩阵 Ai 0 i ,试求酉矩阵U ,使U HAU为对角阵0 i 1五（10 分）、设 A i 0 01 0 0验证：（1）N A R AH ;2 N A R AH C3.六（12分）、验证矩阵A1203. i23.i20为正规矩阵，并求A的谱分解1 i 3七（14分）、设A 计算2 1 i（1） A的谱半径；（2）冈1, IA2,国；(3)设A Cnn,证明： A || A||,其中|| A||是A的任何一种范数八(12分)、讨论下列矩阵哥级数的敛散性九(10分)、在以下题目中任选一个HQ 使 A Q Q.(2)m 1 0试证：矩阵A 0 m 2相似于矩阵B0 0mm 0 0n m 0 ,其中n为非零常数，m为任意常数0 n m(1) 设有Hermite 矩阵A试证：A是正定的充要条件，是存在可逆矩阵(3) 设A为一个n阶矩阵且满足 A2 5A 6E 0,证明：A相似于一个对角矩阵。

第一套试题答案一(10 分)、证明：(1)设k* +卜2次+ k3X3=0 , ①用 作用式①两端，有 k1 1x1+k2 2x2 + k3 3x3 =0 ②1 ①-②，有 k2(1 2)x2 k3( 1 3)x3 0 ③再用 作用式③两端，有 卜2 ( 1 2 ) 2*2 k3 ( 1 3) 3x3 0 ④③ 2-④，有 k3(1 3)( 2 3 )x3 0 0由于1, 2, 3互不相等，必 0 ,因此k3 0 ,将其代入④，有k2 0 ,利用①，有k1 0故x1，x2 ,x3是线性无关的2)用反证法假设x1+ x2+ x3是 的属于特征值 的特征向量，于是有(x1x2x3)(x〔 x2 x3)1X2x22x3(x1 x2x3))x1)x2 ( 2)x3由于x1,x2, x3线性无关，因此3互不相等矛盾所以,x1 + x2 + x3 不是的特征向量二（10 分）、解：A()的行列式因子分别为 D1( ) 1; D2( ) ( 2); D3( ) 2( 2)3,不变因子分别为 d1( ) 1； d2( ) ( 2); d3( ) ( 2)2,1于是A()的Smith标准形为 ( 2) .(2)2三(10分)、解：1 1 1E A 2 16 3 41 0 00 1 00 0 ( 1)2矩阵A的初等因子为：-1, ( -1)2 ,1 0 0故约当标准形为：J 0110 0 1四（12分）、0,得特征值1, 2 1, 3 2解：令 E A解齐次方程组 E A x 0,得基础解系 1 i 2 i ;解齐次方程组 E A x 0,得基础解系 2 1 0 1解齐次方程组 2E A x 0,得基础解系 3 i 1 i由于1, 2, 3已两两正交，将 1, 2, 3单位化得_ 1P1= ..6 i1P2 = r 1 0-2_ 1p3 = ~=.3令U P1P2P3,(2 分),则 U H AU五（10分）、解：（1溯用齐次方程组Ax 。

得基础解系0,Ti,1,N(A) spanR AHspan2, 3,o span 2, 3，这里AH3,o显然0,当ij时；故有N A RAH⑵। N且dimAH是C3的子空间HAH dim N Adim RAHdim C3,AHc3六（12分）、解:由于AHA,所以A是正规矩阵1203. i22,属于特征值征向量为 33. —i 20122)2(1)得A的特征值为2的正交单位特征向量为i 11 (0,1,0), 2 ( 22属于31的单位特因此A的正交投影矩阵为—0 —2 2Gi0 1 0 ； G2 3 3i c 102 2所以A的谱分解为A 2G1 G2七（14分）、解：A的特征多项式为f（）4 ,则A特征值为1 15 2 1V5（1） A的谱半径为（A） 1层（2）容易计算A的1—范数为UAL 3 收A的一范数为| A 3也因为AHA6 5 5i5 5i 11则AH A的特征多项式为2 -g( ) 17 16,所以AHA的特征为［（AHA） 16,2（AH A） 1,故A的2—范数为A2 4证明：设A的特征值是 ，对应的特征向量为 两边取范数，得从范数的相容性，得I III II |A|I IA II L因为 o,则| | 0,这样由于上式对任意的特征值都成立，故 （A） |A。

八（12分）、讨论下列矩阵哥级数的敛散性 - 1 7 1 解：（1）设A ，则A的特征值为1 1%③，2 1 “；3i,1 3从而A的谱半径为（A） 2因为幕级数 4xk的收敛半径为R 1,k1 k2 k… 1 1 7 一 则（A） R,从而 二 是发散的k 1 k2 1 31 8 2 A ,则A的特征值为1 3,2 5,2 1从而A的谱半径为（A） 5因为幕级数 4xk的收敛半径为R 6,k 1 6k一 k 1 8 k 八-则（A） R,故冬 是绝对收敛的k16k 2 1九（10分）、在以下题目中任选一个4）证：必要性：设A QHQ,贝U对x 0,x Cn,有xHAx xHQHQx Qx,Qx 0 这里Q可逆；故A£定充分性：因为 A是Hermite 矩阵，所以 A是正规矩阵，因此存在酉矩阵 U使1 IUHAU 二 ，其中1,，，，， n是A的特征值；又A正定，所以J", n都大于0；因此(2)证： E Am 1 00 m 2 , E B0 0 m显然E A的行列式因子为：Di( ) D2( ) 1, D3()(m)3E B的行列式因子为：Di( ) D2( ) 1, D3()(\3 m)于是E A与E B具有相同的行列式因子，从而A与B相似。

⑶证：设 是A的任意一个特征值， x是A的属于特征值 的特征向量，即 Ax x ,那么由2 _ _ 2(A 5A 6E)x 0,可得 5 6 0,于是A的特征值为2和3.2注意到 A 5A 6E (A 3E)(A 2E) 0,所以 rank(A 2E) rank (A 3E) n.另一万面，rank (A 2E) rank (A 3E) rank (A 2E) rank(3E A)rank (A 2E 3E A) rank(E) n所以，rank (A 2E) rank(A 3E)设 rank (A 2E) t,则 rank(A 3E)n t于是(2E A)x 0的基础解系有n t个解向量，即2有n t个线性无关的特征向量再看(3E A)x 0的基础解系有n (n t) t个解向量，即 2有t个线性无关的特征向量由于不同特征值的特征向量线性无关，因此 A有n个线性无关的特征向量，于是 A可对角化。