第四节简谐激励振动理论的应用.docx

第四节 简谐激励振动理论的应用一、旋转不平衡质量引起的强迫振动（一）运动方程及其解在高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要 的激励来源之一x一个旋转机械的力学模性：设旋转机械总质量为 M ，转子的偏心质量为m，偏心距为e，转子的转动角速度为-选静平衡位置为坐标原点，坐标x表示机器离开静平衡位置 的垂直位移，而偏心质量的位移为x + e sin ® td2x d 2_ + m _ dt 2根据牛顿运动定律，列出系统的振动微分方程—kxdxe sin ® t) = —c_~dt整理后，M&+ c& + kx = me® 2 sin rot (3・18)上式的形式与方程(3-1)相似，只是由me 2代替了 f , 0故前面所有的分析都可适用设9则方程(3-18)的稳态响应为x (t) = X sin(① t 一申)式中振幅 X 为/(k 一 M o 2)2 + (co )2meo21kj(1_ r 2)2 + (2； r )2mer2me®2M J(l— r2)2 + (2< r)2显然，相位差申为co 2 匚 rtgQ = =k 一 mo2 1 一 r2可见，偏心质量引起的强迫振动的振幅与不平衡质量 me 成 正比。

为了减小振动，旋转机械的转子通常要作平衡试验， 使质量分布尽可能均匀二)幅频特性放大因子定义为MX r 2= (3-19)me J(l— r2)2 + (2© r)2MX以放大因子 为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比匚为me参数，画出幅频特性曲线 MXT 0时,竺T 0，即振幅接近于零 me① 1 MX 12.当r = —〉〉1时， T 1,即振幅趋近于常数，即① menX〜meM而与激励频率及阻尼比基本上无关3. 共振发生在10即 °^T-fe时，位于r = 1的右边，共振振幅为me 1M 2^1- ； 2 当阻尼很小时"5 0・2),可以认为当r — 1 艮卩0-0n发生共振，共振振幅为me me0X — — ~c~例题： 一台惯性式激振器 安放在机器正上方，以 测定机器的振动特性 激振器有一对带有偏心 质量、等速反向旋转的 齿轮组成当旋转角速 度3为时，偏心质量的 离心惯性力在水平方向 合力为零，在垂直方 向合成激振力me3 2sin3t, 其中m为总的偏心质量， e为偏心距通过改变转速, 测得共振时的垂直振幅为/// /// ///1. 07cm，而超过共振很远时，垂直振幅趋于定值0.32 cm。

若偏心质量为12. 7kg，偏心距为15 cm,支承弹簧刚度为 k=976・7N/cm计算（1）支承阻尼器的阻尼比；（2）转速为N=300r/min时机器的垂直振幅解：设机器和激振器的总质量为M系统的振动微分方程为MX&+ c& + kx — meO2 sin ot(1)共振时(r =1)的振幅为meX —亠 —1.07 cm max 左 M而r >>1 （超过共振很远时）时有meX —…—0.32 cmM所以阻尼比X 0.32匚 — —2X— 2 x1.07max沁 0.152）当转速为 N=300r/min 时，2兀 N 2兀 x 300o — —31.4 (rad/s)9.6 x100 x 0.3212.7 x15 - o 31・4 q 2.45128nq 12・8 (rad/s)频率比 r — o —n则机器的振幅为me r2X - MJ(1— r2)2 +(2g r)22 452—0.32 2.452j(1— 2.45)2 + (2 x 0.15 x 2.45)2〜0.38 (cm)激励频率为例 3-2：桥式起重机运行机构采用高速空心轴传动，轴的两端由调位轴承支承，轴上无别的零件。

空心轴的内径di为, 外径为d2,两支承间距离为i,求轴的临界转速（r/min）l轴的临界转速％r为:代厂二6^故只要知道梁的固有频率即可求出轴的临界转速 ncrO求连续梁第一阶固有频率时，其模型可按如下简化（离散化）：将梁离散为三点：两个端点和一个中点，其中梁的2m m两端端点的质量各为总质量的四分之一，即 可=2，中点的质量为总质量的二分之一，即2m~T=m如图所示这样处理后,可以把梁看作是抗弯刚度为EI、无质量的弹性梁m/2 m EI m/2式中A是梁中点的静变形，由材力知mgl348EI二、基础运动引起的强迫振动在许多情况下，系统受到的激励来自于支承的运动，例如固定在机器上的仪表，汽车在不平的路面行驶时的振动等 等，都是支承运动引起的强迫振动一）运动方程及其解tk (x - y) c (x - y)如图所示是受基础激励的振动力学模型以系统静平衡 位置为坐标原点建立坐标系：x 质量块的位移 y 基础的位移设基础运动规律为y = Y sin ® t由牛顿运动定律，得3-20)m&&= - k (x - y) - c (X - &即m&&+ c& + kx = ky + (a)或也可写成： m&&+ c& + kx = kY sin ot + c®Y cos ot利用复指数法求解上式。

用y = Yej t代换y = Y sin • t,所以 y =卜Yejwt ,代入式(a),得m&+ cX + kx = kYej^t + jc®Yeat( b)=(k + jc® )Yej®t假定方程(b)的解为x (t) = Xej®t (C)式中 X ----复振幅 则 &t) = j® Xej® t(t)=2 Xej®t带入方程(b),得[(k — m® 2) + jc® ] Xej®t = (k + jc® )Yej®tX 二 k + jc®, Y 二 Xe-j®t (d)则实振幅为k 2 + (c® )2(k — m® 2)2 + (c® )21 + (2； r )2e)(1— r 2)2 + (2^ r )2相位差tg^ =k (k - mo 2) + (co )23-27)mco 3故方程(b)的解为x (t) = Xej (or) (f)由于方程(3-20)中的激励力y = Ysin® t是正弦函数,所以方程(3-20)的解也只能取式(f)的虚部，故方程(3-20) 的解为x (t) = X sin(ot 一申) (g)（二）幅频特性1 + (2Q r )2(1— r 2)2 + (2< r )2令振幅放大因子为XTX以放大因子Y为纵坐标，频率比r为横坐标，阻尼比匚为参数，画出幅频特性曲线。

由此可见，它与简谐激励力F sin•巾乍用下的响应曲线基本相同所不同的是：1.当r = J2（①=J2®）时，振幅X等于基础运动振幅 Y，与阻尼无关2.当r >启©> 円）时，振幅X小于基础运动振幅 Y，增加阻尼反而使振幅X增大和激励频率o例题： 试求图示系统在上端有基 础运动的稳态响应已知x = a sin® t1解：系统的运动微分方程为 m& （k+k ）x = k x1 1 1即mX&^ (k+k”x = ka sin® t固有频率为思考问题：（1）此题是用 3.2中的式（3-4）还是用3.4.2基础激励中的公式（h）来求解该题的响应？（2）此题相位差申为多少？振幅为k a k aX 二 1 二 1伙 + 停-m 2¥ 1 (k + k)-m4(k + ki)2k a3 (k + k )1相位差为申二兀则系统的响应为x = X sin@t—兀)二一 X sinwt例题 3-3： 如图为汽车的拖车在波形道路上行驶，引起垂 直方向振动的简化模型已知k = 350Kiym ,车速 v = 100 kmh满载时拖车质量件=1000 kg，' i = 0.5空载时拖车质量m = 250 kg。

22n Vt~L~，其中L = 5m路面成正弦波形，可表示成y =Y sinY2兀 x100xx 6叭 34.95(2)空载时的阻尼比匚阻尼系数C = 2^ /m1k = 2匚2化匚2=13)满载和空载时的频率比满载时系统的固有频率n1k10003 = 18.7o 34・9 [ M满载时频率比r = = = 1・871 o 18.7n1n24)满载和空载时车辆的振幅比2XX满载时干=0.6「+ 必 J、= 0.68 (1-r2)2 + (2^ r)21 1 11 + 必 2 T = 1.13(1- r2)2 + (2^ r )22 2 2三、隔振 机器超过允许范围的振动影响着本身的正常运行及寿 命，而且还造成环境污染，影响周围设备的正常工作和人体 健康，有效地隔振是相当重要的问题隔振就是在振源和振 体之间设置隔振系统或隔振装置，以减少或隔离振动的传 递隔振分为两类：主动隔振 - 隔离机械设备通过支座传递至地基的振动，以减少动力的传递被动隔振 - 防止地基的振动通过支座传递至需保护的精密设备或仪器仪表，以减少运动的传递隔振装置通常由合适的弹性材料及阻尼材料组成，例如钢弹簧、橡胶、软木、毡类等。

1. 主动隔振kXcX — c® X振源是机器本身主动隔振的目的是减少传递到地基上的力其隔振效果用力传递率（系数） T 表示，它定义为 F丁 隔振后传递到地基上的力（F ） 1F 隔振前传递到地基上的力（F ）0 隔振后机器的强迫振动为X — ® X sin（①t ―申）, X — ® X sin（①t ―申）故机器通过弹簧传递到地基上的力为 kX 机器通过阻尼器传递到地基上的力为 kXX — k® X其合力为F = J( kX )2 + (co X )2 = kX J1 + (2( r )2―1 + (2Q r )2—(1 一 r 2)2 + (2 匚 r )2F0，:3-3)式中X = —(1 一 r2)2 + (2© r)2所以力传递率为T = FT =f F1 + (2© r )2—(1-r 2)2 + (2© r )22.被动隔振被动隔振振源来自地基运动被动隔振的目的是减小传递到机器的运动，其隔振效果用位移传递率(系数)T来表D 示，它定义为隔振后机器的振幅(X)[T = 一 < 1d 隔振前机器的振幅(Y)显然有3-28)T 二 ~~1 + (2^ r)2—D (1- r 2)2 +(2^ r )2比较主动隔振式（3-29）和被动隔振式（3-28）可知，主动 隔振式和被动隔振的原理是相似的。

故此，力传递率（系数） T 和位移传递率（系数） T 统称为传递率（系数），用符号FDT =传递率T有如下特点:T表示所以（1）不论阻尼大小，只有当频率比厂'J2(即 _> 。