导数与微分教案.doc

教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-1 页授课章节第二章导数与微分 第一节导数的概念目的要求1．导数定义 2．导数的几何意义重点难点导数定义复习……………………………………………………………………………………3 分钟 第一节导数的概念 一、引例 1 变速直线运动的速度：由( )( )00 tttstsv--=推出瞬时速度概念2 曲线切线斜率：由推出切线斜率概念 )( )tg=-00 xxx-fxfk=二、导数定义给出函数 y=f (x)增量的概念：自变量增量；↔-=0xxx函数增量↔)(-)(=)(=0xfxfxfy1 导数定义：设 f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且000→0→-)(-)(lim=)(limxxxfxf xxfxx存在，则称 y=f (x)在点 x0可导，且称该极限值为 y=f (x)在点 x0的导数，记等说明：①导数的等价形式 0= xxdxdyxxfxxfxf x)(-)+(lim=)( ′000→0hxfhxfh)(-)+(lim=00→②,导数不存在，但称为导数为无穷大。

∞=)(-)+(lim000→xxfxxfx③导函数（简称导数）左可导、xxfxxfxf x)(-)+(lim=)( ′000→0--教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-2 页右可导xxfxxfxf x)(-)+(lim=)( ′000→0++…………………………………………………………………………………………42 分 钟2 求导数举：例① 的导数)∈(=+Nnxyn注：“n”换成任意实数上述结论仍然成立例② 的导数xysin=同理可求的导数xycos=例③ 的导数) 1≠, 0>(=aaayx特别是的导数xey =例④ 的导数) 1≠, 0>(log=aaayx特别是的导数xyln=例⑤ 的可导性xy =三、导数的几何意义：①曲线在 x0点的切线斜率：tg=)( ′0xf②过 x0点的切线方程：))(( ′=000xxxfyy－－③过 x0点的法线方程：)()( ′1=0 00xxxfyy－－－例⑥ 求等边双曲线在点（1/2，2）处的切线方程及法线方程xy1=例⑦ 求通过点（0，－4）的切线方程2/3= xy四、函数可导性与连续性的关系 可导一定连续，而连续不一定可导。

（简单分析） …………………………………………………………………………………………42 分 钟 内容小结：导数定义 导数的几何意义 思考题：导数与导函数的关系. 作业：P 85 6，7（3）（4）（6），11，15 备注： …………………………………………………………………………………………３分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-3 页授课章节第二章导数与微分 第二节 导数的求导法则目的要求会求导数重点难点复合函数的求导问题复习（首先复习一下初等函数的求导公式） …………………………………………………………………………………３分钟 第二节 导数的求导法则 一、函数的导数四则运算公式 1 定理 1 u(x),v(x)是可导函数，则推广：=)′)(+)((xvxu)′++(wvu=)′)(•)((xvxu 推广：)′(uvw特例：=)′)()((xvxu()′)(xcf2 举例例① ，求735+2=23xxxyy′例② ，2sincos4+=3xxy)2( ′),1 ( ′yy例③ ，求)cos+(sin=xxeyxy′例④ ，求xytg=y′例⑤ ，求xysec=y′同理可求得 ()()′ctg,′cscxx二、反函数的求导法则教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-4 页1 定理 2 如果函数在区间 Iy内单调、可导，且，则它的反)(=yfx0≠)( ′ yf函数在对应区间 Ix内单调、可导, 且)(=1-xfy)(=)′)((1=)′)((1 -1 - xfyyfxf yx分析： 2 举例例⑥，求xyarcsin=y′同理可求其它三个反函数的导数。

………………………………………………………………………………………42 分钟 三、复合函数求导法则1 定理 3 如果在点 x 可导，在点可导，则复合函)(=xgu)(=ufy)(=xgu数在点 x 可导，且其导数为)]([=xgfy)( ′)( ′=xgufdxdy注：与的区别)]([ ′xgf}′)]([{xgf分析：2 举例,求下列各函数的y′例⑦ 3=xey例⑧ 2+12sin=xxy例⑨ xysinln=例⑩ 322-1=xy例⑾ )ln(cos=xey例⑿ xey1sin=例⒀ 设 x>0, 证明(可不讲)1 -=)′(xx例⒁ xnxynsin•sin=例⒂ ,(自己做)2e-=sh=-xxexy2e+=ch=-xxexy教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-5 页………………………………………………………………………………………42 分钟 内容小结：导数的求导法则 思考题：常数导数为零的几何意义. 作业:P96 6(6)(9),7(8) 备注： ………………………………………………………………………………………３分钟授课章节第二章导数与微分 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函 数的导数, 相关变化率目的要求导数计算重点难点隐函数求导、参数方程求导复习…………………………………………………………………………………３分钟 第三节 高阶导数 （首先复习一下初等函数的求导公式） 一、高阶导数 二阶导数；记法。

n 阶导数；记法 二、举例例① ，求baxy+=y′ ′例② ，求wxaysin=y′ ′例③ 证明函数满足关系式2-2=xxy0=1+′ ′3yy例④ 求指数函数的 n 阶导数xey =例⑤ 求的 n 阶导数（）xysin=xycos=例⑥ 求的 n 阶导数) 1+ln(=xy例⑦ 的 n 阶导数xy =三、莱布尼茨公式iniinnvuuv∑0=)-()(=)(（只做作业中的一道题）…………………………………………………………………………………42 分钟 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数, 相关变化率教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-6 页一、隐函数的导数 1． 显函数：如 2． 隐函数：如 3． 隐函数的显化：如 4． 隐函数的导数：举例例 7求由所确定的隐函数的导数0exyey例 8求由所确定的隐函数在处的导数03275xxyx0x例 9求椭圆在点（2，）处的切线方程191622 yx 233例 10求由所确定的隐函数的二阶导数导数。

0sin21yyx例 11求的导数xxysin求的导数)4)(3()2)(1( xxxxy二、由参数方程所确定的函数的导数1． 参数方程：   )()( tytx 如抛射体的运动轨迹，其中 v1为水平方向初速度，v2为垂 2 2121gttvytvx直方向初速度 2． 由参数方程所确定的函数的导数分析：由可得)]([)(1xty)()( tt dxdy  3． 二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求 一次导）)(])()([22tttdxyd 教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-7 页例 7已知椭圆参数方程，求在点相应的点处的切线方  tbytaxsincos4t程例 8计算参数方程的二阶导数   )cos1 ()sin( tayttax（可补充例题，把相关变化率放在下一次课讲） 三、相关变化率对于参数方程，与相互依赖的变化关系称为相关变化率。

  )()( tytx dtdx dtdy如 500m v=140m/min(分)0 500m 一个气球从离开观察员 500m 处离地面铅直上升，其速度为 140m/分当气球高 度为 500m 时，观察员视线的仰角增加率是多少？ 分析：min/140,4500cos 5001)(tan 500tan2mvdtdy dtd dtdy dtdy ……………………………………………………………………………………42 分钟 内容小结： 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导思考题：若的导数存在, )(xf?2)()(limhhxfxfh作业:P96 3(1)，6(2)(4),8(5),P101 3(1) 备注： ……………………………………………………………………………………３分钟教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-8 页授课章节第二章导数与微分 第五节 函数的微分目的要求了解微分的计算公式及几何意义重点难点微分的计算公式复习…………………………………………………………………………………３分钟 第五节 函数的微分 一、引例?S二、微分定义定义：设函数 在某区域内有定义，x0及 x0+△x 在这区间内如果函)(xfy 数的增量为可表示为，其中 A 是不)()(00xfxxfy)(oxxAy依赖于的常数，则称函数在点 x0是可微的，称为函数x)(xfy xA的微分，记 dy，即。

)(xfy xAdy三、可微条件及计算公式函数在点 x0是可微的充分必要条件是函数在点 x0是可导，)(xfy )(xfy 且xxfdy)(0分析： 注：1．，称为的线性主部)(oxdyyxxfdy)(0y教 案课程名称：高等数学 编写时间：200 年 月 日第 次 第 2-9 页2．→函数增量；→值变量增量，且yxxdx3． 由于，称导数为微商)()()(000xfdxdydxxfxxfdy四、微分的几何意义 （画图，简介用微分近似等于函数增量的近似计算方法……………………………………………………………………………………42 分钟 五、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 （书上 P115） 六、举例例 1 求函数在 x=1 和 x=3 处的微分2xy 例 2 求函数当的微分3xy 02. 0, 2xx例 3 已知函数，求) 12sin(xydy例 4 已知函数，求xeyxcos31dy例 5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。

1）d( )=xdx （1）d( 。