自动控制原理第四章根轨迹法剖析资料.ppt

自动控制原理第四章根轨迹法剖析本章主要内容本章主要内容q 以以K为变量的为变量的常规根轨迹常规根轨迹的绘制方法的绘制方法q 以其它参数为变量的以其它参数为变量的广义根轨迹广义根轨迹的绘制方法的绘制方法（自学）（自学）q控制系统的根轨迹分析方法（自学）控制系统的根轨迹分析方法（自学）4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念定义：定义：根轨迹根轨迹—系统中某一参数在全部范围内变化时，系统中某一参数在全部范围内变化时，     系统闭环特征根随之变化的轨迹系统闭环特征根随之变化的轨迹l l  以除以除K以外的系统参数为参变量的根轨迹－以外的系统参数为参变量的根轨迹－广广义根轨迹义根轨迹l l  常规根轨迹常规根轨迹法以开环增益法以开环增益K做为参数画出根轨迹的做为参数画出根轨迹的1 根轨迹举例根轨迹举例例例4-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹－－K开环传递函数：开环传递函数：  分析分析：：  有有2个开环极点个开环极点没有开环零点没有开环零点闭环特征方程闭环特征方程求出求出2个闭环特征根：个闭环特征根：     闭环特征根是闭环特征根是K的函数当的函数。

当K从从0～～∞变化，变化，            闭环特征根在根平面上形成根轨迹闭环特征根在根平面上形成根轨迹闭环传递函数：闭环传递函数：  K取不同值：取不同值： （等于两个开环极点）（等于两个开环极点）    ImRe0   (两根重合于－两根重合于－0.5处处) （即（即0≤K≤1/4，，两根为实根）两根为实根） ××﹣﹣1﹣﹣0.5  (两根为共轭复数根，其实部为－两根为共轭复数根，其实部为－0.5)● ●  随着随着K的增加闭环极点右转进入复的增加闭环极点右转进入复平面，实部不变，虚部逐渐加大平面，实部不变，虚部逐渐加大总结：总结：q                                 有两个闭环极点，有有两个闭环极点，有2条根轨迹条根轨迹q 根轨迹是从根轨迹是从开环极点开环极点出发点q 通过选择增益通过选择增益K，，可使闭环极点落可使闭环极点落     在根轨迹的任何位置上在根轨迹的任何位置上q 如果根轨迹上某一点满足动态特如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的性要求，可以计算该点的K值实现值实现设计要求设计要求ImRe0××﹣﹣1﹣ ﹣0.5● ●这是个？阶系统，这是个？阶系统，2q 根轨迹上的点与根轨迹上的点与K值一一对应。

根轨迹是连续的值一一对应根轨迹是连续的q 当两条根轨迹在分合点相遇再离开当两条根轨迹在分合点相遇再离开时遵循右转法则时遵循右转法则4.2 根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图典型的反馈控制系统如图: G(s)H(s)－其其开环传递函数：开环传递函数：其中：其中：K:开环增益，开环增益， —  开环零点，开环零点，  — 开环极点开环极点×闭环传递函数：闭环传递函数：闭环特征方程为：闭环特征方程为：它们满足：它们满足：G(s)H(s)－G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：是复数，在复平面上对应一个矢量：-1φ绘制根轨迹必须满足的基本条件：绘制根轨迹必须满足的基本条件：                 （相角公式：积的相角等于相角的和，（相角公式：积的相角等于相角的和，                                          商的相角等于相角的差）商的相角等于相角的差） 幅值条件幅值条件相角条件相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）（积的模等于模的积，商的模等于模的商）注意：注意：1.  这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的所有满足以上两式的s 值值都是系统的都是系统的特征根特征根，把它们在，把它们在s平面上画出，就构成了平面上画出，就构成了根轨迹根轨迹。

 2.  观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点迹是利用开环零极点求出闭环极点画法：画法：1.利用相角条件，找出所有满足相角条件的利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连值，连成根轨迹成根轨迹2.确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值相角条件相角条件幅值条件幅值条件2、绘制根轨迹的基本规则、绘制根轨迹的基本规则例例4-4要求画出根轨迹要求画出根轨迹 某单位反馈系统某单位反馈系统分析：分析：1个开环零点，个开环零点，3个开环极点，个开环极点，0●-5×××-2-10规则一、规则一、 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环开环开环开环极点数极点数极点数极点数n n和零点数和零点数m中最大者中最大者 闭环系统的阶次为闭环系统的阶次为3 ，有，有3条根轨迹条根轨迹    闭环极点数闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次闭环特征方程的阶次                        = 开环传递函数的阶次开环传递函数的阶次= 开环极点数开环极点数例中，例中，规则二、规则二、                 根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。

极点，终止于开环零点或无穷远点 根轨迹是根轨迹是K从从0→∞时的根变化轨迹，因此必须时的根变化轨迹，因此必须                     起于起于K=0处，止于处，止于K=∞处处观察幅值条件：观察幅值条件：如果如果n > m, m条根轨迹趋向开环的条根轨迹趋向开环的m 个零点，而个零点，而另另n-m条根轨迹趋向无穷远处条根轨迹趋向无穷远处 对于例题，对于例题，3条根轨迹始于条根轨迹始于3个开环极点，一条止个开环极点，一条止于开环零点，另两条（于开环零点，另两条（n-m=2））趋于无穷远处趋于无穷远处规则三、规则三、               根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴续的，且对称于实轴证明：（证明：（1）连续性）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的证明：（证明：（2）对称性）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。

根轨迹对称于实轴对于例题，对于例题，                    在实轴上的根轨迹：在实轴上的根轨迹：×××●0﹣ ﹣1﹣ ﹣2﹣ ﹣5一条始于开环极点，止于开环零点，一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处另两条始于开环极点，止于无穷远处规则四、规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹渐近线：根轨迹有渐近线：根轨迹有n-m条渐进线条渐进线 渐近线与渐近线与实轴的夹角实轴的夹角为：为：  渐近线与渐近线与实轴的交点实轴的交点为：（为：（α，，j0））l l  它们是针对它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则五、对例对例4-4，，交点坐标为：交点坐标为：即（即（1，，j0）渐近线与实轴夹角为：渐近线与实轴夹角为：1×0××●﹣ ﹣1﹣ ﹣2﹣ ﹣5规则六、规则六、 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点，根轨迹进入轨迹进入(离开离开)分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角分离点时其切线与实轴的夹角称为分离角性质性质: (重点讨论重点讨论实轴实轴上的分离点）上的分离点）q 在此点上必出现在此点上必出现重根重根。

 q利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴     上两相邻开环极点间时，必有一上两相邻开环极点间时，必有一分离点分离点 q若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一远处）时，必有一分离点分离点 q根轨迹在该点上对应的根轨迹在该点上对应的K是这段实轴区域的极值是这段实轴区域的极值××K=0K=0K=∞K=∞分分离离点点分分离离点点               根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式根轨迹的分离点：分离点坐标是方程式  的解分离角的解分离角                                                       l是重根数是重根数 由求极值的公式求出：由求极值的公式求出： 在实轴根轨迹上，求使在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的达到最大（最小）值的s 值值: 注意：注意：求出结果，需经判断，保留合理解求出结果，需经判断，保留合理解如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去在例题在例题4-4中，中， 解出：解出：对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（标为（-0.447,j0））处。

处 ×××●0﹣﹣1﹣﹣2﹣ ﹣51－－0.447求出分离角为求出分离角为:规则七、规则七、                根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的K值值利用劳斯判据求出利用劳斯判据求出 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根出现虚根 在例在例4-4中，系统闭环特征方程式为：中，系统闭环特征方程式为： 即：即：劳劳斯斯行行列列式式q当当6-2K=0时，特征方程出现共时，特征方程出现共轭虚根，求出轭虚根，求出K＝＝3 q虚根可利用虚根可利用s2行的辅助方程求出：行的辅助方程求出： －与虚轴的交点－与虚轴的交点      与虚轴的交点为与虚轴的交点为例例4-4的根轨迹如图的根轨迹如图×××●0﹣﹣1﹣﹣2﹣ ﹣51K=.084﹣ ﹣.4471、画出开环零极点、画出开环零极点2、确定根轨迹根数、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（、求渐进线（n≠m））5、求分离点、求分离点6、求与虚轴交点、求与虚轴交点7、画出根轨迹、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的、求出特殊点对应的K值值K值由根轨迹幅值条件求出：值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（如分离点（-0.447,j0））处的处的K值：值： 规则八、规则八、根轨迹的起始角：根轨迹的起始角：在开环复数在开环复数极点极点px处，根轨迹的处，根轨迹的起始角起始角为：为：在开环复数在开环复数零点零点zy处，根轨迹的处，根轨迹的终止角终止角为：为： 若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。

可根据相角条件求出出发（进入）的方向角度可根据相角条件求出例例4-5 设系统开环零极点图如图设系统开环零极点图如图其中其中●××××图图4-7确定根轨迹离开共轭复数根的起始角确定根轨迹离开共轭复数根的起始角根据公式：根据公式： 考虑到根轨迹的对称性，考虑到根轨迹的对称性，起始角起始角φp3= -5°，，φp4= 5° 例例4-6 作作                                           的根轨迹的根轨迹开环极点开环极点3个：个：分析：分析：n=3，，m=0, 没有开环零点没有开环零点在在s平面上的极点处标以平面上的极点处标以“×”，，)根据根据规则一、二规则一、二 、三、三 ：：根据根据规则四规则四，实轴上，实轴上0→-∞为根轨迹为根轨迹 分别起始于分别起始于3个开环极点，个开环极点，均终止于无穷远处均终止于无穷远处根轨迹有三个分支：根轨迹有三个分支：×××图图4-8根据根据规则五规则五，求渐近线，求渐近线:n-m=3条条例例4-6 渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点： ×××-2.767﹣ ﹣60°没有分离点。

没有分离点例例4-6 根据根据规则七规则七：求出根轨迹与虚轴的交点求出根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程：闭环特征方程： K=256，，必对应于一对纯虚根，必对应于一对纯虚根，以以       的系数构成辅助方程的系数构成辅助方程:×××-j5.66j5.66例例4-6 根据根据规则八规则八求起始角：求起始角： 对对P2，，根轨迹的起始角为：根轨迹的起始角为： 由对称性知：由对称性知：-4-j4处的射角为处的射角为45°×××j5.66-j5.66根轨迹完成根轨迹完成例例4-7  作作                                         的根轨迹的根轨迹该系统该系统 n=3 ，，m=1根据根据规则一、二、三规则一、二、三：：一个零点：一个零点：有三个开环极点：有三个开环极点：●-2-4-6-12××该根轨迹有三个分支该根轨迹有三个分支,分别起始于分别起始于p = 0(两条两条)和和p = -12处，处，有一个分支终止于有一个分支终止于z = -1,另两个分支趋于无穷远另两个分支趋于无穷远×根据根据规则四规则四：：   实轴上存在根轨迹是从实轴上存在根轨迹是从-12到到-1之间。

之间例例4-7根据根据规则五规则五：渐近线有：渐近线有2条，条，n-m＝＝25.5渐近线夹角：渐近线夹角：          渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的交点：     ×●-2-4-6-12××例例4-7根据根据规则七规则七、、求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程是：闭环特征方程是：K＞＞0时，第一列元素都为时，第一列元素都为正值，根轨迹与虚轴交点正值，根轨迹与虚轴交点于于K=0处 ×●-2-4-6-12××例例4-7根据根据规则六规则六、求分离点、求分离点 则：则：   s1 =-5.18,  s2= -2.31，，s3＝＝0可知一部分根轨迹为圆可知一部分根轨迹为圆据此，可画出根轨迹据此，可画出根轨迹均在根轨迹上均在根轨迹上大大K→s1小小K→s2 ×●-2-4-6-12××求出分离角为求出分离角为:-5.5例例4-7利用幅值条件，可求出分离点的利用幅值条件，可求出分离点的K值 s2是第一分离点，是第一分离点，s1是第二是第二分离点完整的绘出根轨迹如图完整的绘出根轨迹如图4-9所示×●-2-4-6-12××图图4-9 s1 =-5.18,  s2= -2.31，，s3＝＝0。

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