复变函数4-5 (1).ppt

1,第五节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数在无穷远点的性态,三、小结与思考,,,,,,2,一、孤立奇点的概念,3,解,的奇点存在,,函数的奇点为,总有,4,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1．可去奇点,1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.,1) 定义,5,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,,6,定理,设函数 f (z) 在 0 |zz0| (0  +)内解析，,则 z0为 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是,存在且有限.(4.16),证,必要性,设 z0为f (z)的可去奇点，,从而在0 |zz0| 内有,因为上式右端幂级数的和函数g(z)在|zz0| 内解析，,特别在 z = z0 处连续，,当 z  z0 时，,记f (z) = g (z), 则,7,充分性,设在0 |zz0| 内 f (z) 的洛朗展式为,则存在正数 M 和 (  ) 使得,0 |zz0|  时，|f (z)|  M.,所以,8,令  0得c-n= 0, (n =1,2, ),,z0 是f (z) 的可去奇点.,9,例2,为,的哪种孤立奇点.,解,,无负幂项,另解,10,2. 极点,且,1) 定义,负幂项,,11,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,12,定理4.17,设函数 f (z) 在 0 |zz0|  内解析,,则,z0为 f (z) 的 m 级极点的充分必要条件是 f (z) 在,0 |zz0|  内可表示为,的形式，其中 (z) 在z0解析，且 (z0)  0.,证,必要性,设f (z) 在0 |zz0|  内解析,,z0为f (z),的m级极点，,那么在0|zz0| 内，,f (z)有洛朗展式,13,这里c-m 0.,于是,其中 (z) 是在 z0附近 的幂级数，收敛半径仍为.,故在 z0 解析，且 (z0)  0.,充分性,设,把 (z) 在z= z0 的邻域内展开成幂级数，则,14,于是 z0为f (z) 的 m 级极点.,定理4.18,z = z0为函数f (z)的 m 级极点的充分必要,条件是,在 z0 解析且以z0为m 级零点.,定理4.19,设 z0 为函数f (z)的孤立奇点，,则 z0为 f (z),的极点的充分必要条件是,15,课堂练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的级数.,答案,16,本性奇点,3.,例如，,,含有无穷多个z的负幂项,17,,例3,z = 0 是,的孤立奇点.,这三个函数在 z = 0的去心邻域的洛朗展式分别为,一级极点和本性奇点.,18,解,这些奇点是,是孤立奇点.,19,,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,20,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,21,二、函数在无穷远点的性态,1. 定义,22,令变换,规定此变换将:,映射为,,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,,,映射为,,映射为,23,结论:,,规定:,m级极点或本性奇点 .,24,t = 0 是,它的一个孤立奇点，,因而,所以,25,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 级极点;,3)本性奇点 .,判别法1 (利用洛朗级数的特点),2.判别方法:,26,判别法2 : (利用极限特点),如果极限,27,例6,在圆环域,内的洛朗展开式为:,不含正幂项,z=是下列函数的那种类型奇点？,(1),(2),(1),(3),28,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,29,解,30,所以,因为,因为,31,例8,判断 z =  是下列函数的什么类型奇点，,对于极点，指出它们的级.,解,内的洛朗级数为,所以 z = 为 f (z) 的可去奇点.,32,(2) 由于cos z 在 的邻域的洛朗级数就是它在,z = 0处的泰勒级数,从而,所以 z = 为 f (z) 的本性奇点.,33,三、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系.,作业：17(1)(2)(3)(4)(5), 18,34,思考题,35,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,。