数列经典综合题66例.doc

数列经典综合题66例 本专题中所有试题均来源于近几年高考试题、高考模拟试题、大学自主招生试题及竞赛试题（含2009—2010学年最新试题），按内容分为以下几部分：⑴等差数列与等比数列综合题；⑵点列综合题；⑶数列与向量交汇的综合题；⑷数列与函数交汇的综合题；⑸数列与不等式交汇的综合题；⑹数列与概率统计的综合题；⑺分段数列综合题；⑻信息迁移题.（所有试题均有详细答案）题型比较全面，可作为学生复习数列时的参考用题，也可供数学教师备课时参考.等差数列与等比数列综合题例1 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求 解：（Ⅰ）依题意有 由于 ，故 又，从而 （Ⅱ）由已知可得 故 从而 例2 在正项数列中,令.（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（Ⅰ）解：由题意得,,所以=（Ⅱ）证:令,,则=1所以=（1）,=（2）,（2）—（1）,得—=,化简得（3）（4）,（4）—（3）得 在（3）中令,得,从而为等差数列 例3 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 ∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 =Sm + Sm+1 = =∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 例4 已知数列｛an｝的首项（a是常数），（）．（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且　　　是等比数列，求实数a、b满足的条件． 解：（Ⅰ）∵∴　　　　　 　　若是等差数列，则　但由，得a=0,矛盾.　∴不可能是等差数列 (Ⅱ)∵ ∴(n≥2)　　∴ 当a≠－1时, 从第2项起是以2为公比的等比数列∴n≥2时,∴是等比数列, ∴(n≥2)是常数 ∵a≠-1时, ∴b-2a-2=0 当a=-1时，（n≥3）,得（n≥2） ∴∵是等比数列 ∴b≠0综上, 是等比数列,实数a、b所满足的条件为 例5 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2∴a1=1 ∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an∵an≠0 ∴(n∈N*)所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)∴bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2……bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…) 将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1 ∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1] ① 而 Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)] ②①-②得：Tn==8-(8+4n)(n=1，2，3，…) 例6 已知数列中，，且对时有．（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和（Ⅰ） 证明：由条件，得，则．即，所以，．所以是首项为2，公比为2的等比数列． ，所以．两边同除以，可得．于是为以首项，－为公差的等差数列．所以．（Ⅱ），令，则．而．∴． ，∴．令Tn＝， ①则2Tn＝． ②①－②，得Tn＝，Tn＝．∴．例7 设数列满足且（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得．又．所以．由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组 消去解得． 下面验证当时，数列为等比数列． ，，从而是公比为的等比数列．同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为； 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为． 由第（Ⅱ）问得，． ． 由于数列的公比，则． ，由于，则，于是，所以例8 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. （Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立∴ （n ≥ 2）② ①--②得∴∵均为正数，∴ （n ≥ 2） ∴数列是公差为1的等差数列 又n=1时，， 解得=1∴.() （Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤. ∴ (Ⅲ)解：由已知 ， 易得　 猜想 n≥2 时，是递减数列. 令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , ∴数列中的最大项为. 例9 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有 例10 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明解：（1）由，得， 整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立 （2）若，即， （*）（ⅰ）若则 当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求 （ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1此时等号左边是常数，，矛盾综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。

3） 设.，. 取 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. 2、 点列综合题例11 设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…Pn，Qn+1…，已知，设（1）求出过点P0的切线方程；（2）设求的表达式；（3）设求解：（1） ∴过点P0的切线段为即 （2） ∴过点Pn的切线方程为 将的坐标代入方程得： 故数列是首项为的等比数列 （3） 例12 已知点满足：，且已知 （1）求过点的直线的方程； （2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；（3）求点的极限位置解：（1）由，得： 显然直线的方程为 （2）由，得： ∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点 假设当时，点，即 当时， ∴点 综上，点 （3）由，得： ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列 即点的极限位置为点P（0，1）例13 如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .(Ⅰ) 写出；(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.. 解：(Ⅰ) .(Ⅱ)依题意，则yxOA0P1P2P3A1A2A3，… 3分在正三角形中，有 ..， ， ①同理可得 . ②①-②并变形得， ， . ∴数列是以为首项，公差为的等差数列. ， …………………………………… 7分，.. (Ⅲ)解法1 ：∵， ∴..∴当时，上式恒为负值，∴当时，，∴数列是递减数列. 的最大值为. 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且，∴解之，得 或，即的取值范围是.例14 △ABC中，|AB|=|AC|=1，，P1为AB边上的一点，，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4…… （1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。

（2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于。