常系数线性方程组基解矩阵的计算.doc

常系数线性方程组基解矩阵的计算常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数expAt,给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数CalculationofBasicsolutionMatrixofLinearHomogeneousSystemwithConstantCoefficientsZhijunDong(DepartmentofMathematics,ChaohuCollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differentialequationsapplicationinengineeringtechnologyisveryextensive,whenmanyproblemsareattributabletoitssolvingproblem,basesolutionmatrixexistenceandspecificseekisdifferentthings,generalhomogeneouslineardifferentialequationsisnotthebasesolutionmatrixbyintegralget,butwhencoefficientmatrixisconstantmatrix,canpassoutthebasesolutionmatrixmethod,thenareavailablematrixexponentialt,thegeneralformbasesolutionmatrix,thepaperdiscussesthemostwidelyuseddifferentialequationswithconstantcoefficients,combinedwithdifferentialequations,linearalgebra,discussknowledgeofhomogeneouslineardifferentialequationwithconstantcoefficientsofbasesolutionmatrixseveralgeneralcalculationmethod.Keyword:linearhomogeneoussystemwithsolutions;matrixexponentconstantcoefficients;matrixofbasic引言：线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组X'=AX★的基解矩阵的计算问题，这里A是nn常数矩阵.一.矩阵指数expA的定义和性质：1 .矩阵范数的定义和性质定义：对于nn矩阵A=ajnxn和n维向量X=X1,…,XnTnn定义A的范数为||A=aij,||X||=xii,j1i1设A,B是nXn矩阵，x,y是n维向量，易得下面两个性质:（1） |AB||<|A|B||,|AX||<|A||X||;（2） ||AB||<||A|+||B||,||X丫产凶+M.2 .矩阵指数expA的定义和性质：（!）定义：如果A是一个nxn常数矩阵，我们定义矩阵指数expA为下面的矩阵级数的和：expA=4=E+A+2"・-+4+…（1.0）k0其中E为n阶单位矩阵，Am是A的m次幕，这里我们规定A0=E,0!=1这个级数对于所有的A都是收敛的.因次expA是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0,有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1）,易知对于一切正整数k,有40N,k!2又因对于任一矩阵A,IA|是一个确定的实数，所以数值级数旧+M+第++照+…是收敛的.进一步指出，级数expAt=今卜在1的任何有限区间上是一致k0收敛的.■II..ititahkl-■ahk.事实上，对于一切正整数k,当|t&c（c是某一整数）时，有惊科广曰h0电ck,k而数值级数是收敛的，因而expAt=*tk是一致收敛的.k0k0（2）矩阵指数expA的性质：①若矩阵A,B是可交换的，即AB=BA则expA（A+B=expAexpB；1 1②对于任何矩阵A,expA存在，且expA=exp（-A）；③如果T是非奇异矩阵，则exp（T〔AT）=T1（expA）T.3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题定理1:矩阵（t）=expAt（1.1）是★的基解矩阵，且（0）=E.证明：由定义易知（0）=E,将（1.1）对t求导，得（t）=expAt=A+与t+与t2+...+tk1+…=AexpAt=A(t)这就表明,(t)是★的解矩阵，又det(0)=detE=1因此(t)是★的证毕.解矩阵.注1：由定理1,我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解(t)=(expAt)C这里C打、是一个常数向量.例1:如果A是一个对角矩阵A=a?(其中未写出的元均为零)an试找出x=Ax的基解矩阵.1.0kai2aiexpAt=E+a22a?t2万!ka2tkk"!ana4e1aote2anten根据定理1,这就是个基解矩阵.x的基解矩阵.…—2解：因为A=0而且后面的两个矩阵是可交换的，得到2expA=exp0expt=2te002te2T！L所以级数只要两项，因此基解矩阵是expAt=2te二.基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如⑴el的解，其中为待定的参数，C为待定的n维非零向量，将之代入方程组，得到etcAetC,即有(EA)C0(1.2)要使齐次线性代数方程组(1.2)有非零解向量，应有det(EA)0(1.3)称式(1.3)为方程组★的特征方程，称为A的特征值.称非零向量C为A的对应于特征值的特征向量.于是有如下结论：(t)etc为方程组★的充分必要条件是为A的特征值，且C为对应于的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.(1)设A具有n个线性无关的特征向量V1,V2,L%,它们对应的特征向量分别为1,2Ln(不必各不相同)易知矩阵(t)(e1tV1,e2tV2,LentVn)tR是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数eitVi(1

e？,Lx0en应用式（1.7）求得n个解，然后以这n个解作为列即得expAt.注4:当A只有一个特征值时，即为n重的，因此vRn都有EAv0这表明EAn为零矩阵.则n1.tttiexpAtexpAtEexpAteexpEteexpAEttAEi0（1.（8）注5:式（1.7）表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5:若A是例2中的矩阵，求初值问题xAx,x0x0的解和expAt.解：本题用两种方法计算expAt和t方法一：易知1,22是A的二重特征值，此时，A只有一个特征值，根据式（1.8）计算有expAt=e2t1 ；；一一1。