例谈数形结合思想方法在初中数学教学中的应用.doc

例谈数形结合思想方法在初中数学教学中的应用大理州宾川县教育局教研室 辉（联系 电子信箱bc*jys126. 邮编671600）数学研究的对象，是现实世界中的数量关系（简称“数” ） 和空间形式（简称“形” ），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透、相互转化的，正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系数形结合思想方法就是把抽象严谨的数学语言、数量关系与直观表意的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来，“以数助形”，则对直观问题以数理推证和精确刻划，从而起到把握数学本质的目的在初中数学教学中，数形结合的思想方法应用广泛，常见的有判断有理数大小的关系、代数式变换、解方程及解不等式、列方程解应用题，函数及其图像、平面几何问题、数据统计及简单的三角函数等方面一、数形结合在有理数中的应用例1：有理数a、b在数轴上的位置如图1所示，则a与b的大小关系是（ ）A．a ＞bB． a = b C． a ＜b D． 不能判断分析：从有理数a、b在数轴上的位置看，a＜0， b＞0，所以a＜b，故选C.数轴的引入为有理数内容体现数形结合思想提供了桥梁作用。

对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，可以通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系来判断尽管我们学习的是有理数，但要记住它的形（数轴上的点），渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的概念及其运算法则二、数形结合在代数式中的应用例2：试用几何图形表示一个代数式（a＋b）（a －b），并验证（a＋b）（a －b）= a2 － b2的正确性分析：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系（a＞b＞0），如图2所示利用图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想方法，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题三、数形结合在列方程（组）解应用题中的应用 例3：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他1）爸爸追上小明用了多长时间.（2）追上小明时，距离学校还有多远.分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等。

在解决这个问题时，要抓住这个等量关系画出线路图关系就很清楚了）爸爸走的路程=小明走5分钟的路程 + 小明走*分钟的路程= 小明走的总路程；根据相等关系列一元一次方程，可得到爸爸追上小明用了4分钟追上小明时，距离学校还有280米列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图．这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追击问题，还是工程问题、浓度问题等，只有依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点 四、数形结合在不等式（组）中的应用 例4：解不等式3-*＜2*＋6，并把它的解集表示在数轴上分析：解不等式3－*＜2*＋6可得，*＞－1，这个表达式的解集在数轴上表示如图4：把不等式的解集*＞－1在数轴上直观地表示出来，既具体又现象，更能理解不等式有无限多个解，对初学不等式的学生来说，很有必要例5：解不等式组 :分析：解不等式组可得，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图5：所以，原不等式组的解集是* ＜ 教师在教学一元一次不等式（组）时，为了加深学生对不等式（组）解集的理解，教师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。

在数轴上表示数是数形结合思想方法的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步确定一元一次不等式的解集时，利用数轴更为有效  五、数形结合在函数中的应用例6：已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①、②、③、④中正确的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中各系数与图形性质的对应关系，再做出判断 由观察图形可知，当和时，分别有和，即，，可得 ①、②正确 由抛物线开口向下，所以，对称轴， 所以有且，又由于抛物线和轴的交点在轴的上方，所以则有，即③正确 将代入①中可得到 ，即④不正确 综上所述，应选(B)我们教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的例7：如图7所示，A、B两点在* 轴上，且在原点O的右边，点A在点B的左边，经过A、B两点的⊙C与Y轴相切于D（0，－3），已知AB=8，求经过A、B、D三点的抛物线的解析式分析：求经过A、B、D三点的抛物线的解析式，须先求出A、B两点的坐标。

连接CD,过点C作AB的垂线交AB于E，可得四边形CDOE是矩形，则CE=OD=3,OE=DC.再连接AC，可得AE=BE= AB = 4, 则AC==5.所以 OE=DC=AC=5，OA=5-4=1.因此A、B两点的坐标分别为（1，0）、（9，0）.设所求抛物线的解析式为y = a*2＋b*＋c（a≠0）∴ 解得 =-，=，=-3∴所求抛物线的解析式为由于在直角坐标系中，有序实数对(* , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然一个函数可以用图像来表示，而借助这个图像又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法，教学时老师若注重了数形结合思想方法，将会收到事半功倍的教学效果  六、数形结合在平面几何中的应用例8：已知：如图8所示，在矩形ABCD中，以AB为直径作⊙O切CD于F，连AC交⊙O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的长分析：连接AF、FP. 依题意，FC=BC=,设PE=*,CP=y,则AC=,AP=-y由△CFP∽△CAF得，CF2=CP·AC，即……①由PE∥BC得，……②解①②联立方程组得PE=*=此题的教学，利用几何中相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例定理构造方程组，应用了数形结合的思想方法，使问题得到解决。

例9：甲船在A处测得乙船的方位角是北偏东600，此时，乙船正向正南方向驶去，若甲船从南偏东300方向以每小时9海里的速度前进，3小时后追上乙船，求最初甲、乙两船的距离与乙船的速度分析：首先根据题意，画出图形，如图9所示，由∠BAE=300, ∠CAE=600,知∠BAC=900，则解Rt△ABC即可其中,AC=3×9=27（海里），∠C=∠FAC=300最初甲、乙两船的距离AB=AC·tanC=27×tan300= 9(海里)，BC=（海里），则乙的速度为（海里/小时）平面几何中隐含着很多的数量关系，从概念的引出到相关公式的推导以及三角形的解法及其实际应用，无不体现数形结合思想方法在解三角形的问题时，若先画出图形，使已知的边角关系和未知的边角关系更直观，有助于问题的顺利解决七、数形结合在数据的收集与处理中的应用如图10所示，是学校连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格图10（1）请根据图中所提供的信息填写下表：平均数中位数 众数方差体能测试成绩合格次数甲6595乙60（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断（从不同的角度分别说出一条即可）。

3）依据折线统计图和体能合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好分析：（1）根据折线统计图和有关统计知识可以填写下表：平均数中位数 众数方差体能测试成绩合格次数甲606565952乙6057.5802904（2）此题是开放题目，因此学生的回答是多样的，例如：甲体能较稳定，因为方差较小；乙有潜力，因为乙的最好成绩比甲的最好成绩高等；（3）从折线统计图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快；从众数看，乙的成绩比甲好；从体能测试成绩合格次数看，后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好此题考查的是条形统计图和表格的综合运用，融入了数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差等概念的理解；读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键通过对上述例题的分析解答，我们可以发现，在初中数学教学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，贯穿于整个数学内容之中，注重把数与形结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形的性质问题转化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图形的性质问题，不仅使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，化难为易，而且对于培养学生数形结合的数学思想方法，形成良好的数学思维起到重要作用。

[ 参考文献 ]：[1]华罗庚著.《华罗庚诗文选》.中国民主同盟中央委员会宣传部编.中国文史出版社 / 1986.1北京[2]马复主编.《义务教育课程标准实验教科书•数学》七年级上. 八年级上.北京师范大学出版社.2008.6[3]林群主编.《义务教育课程标准实验教科书.数学》七年级上. 七年级下.人民教育出版社.2007.3[4]教育部基础教育司组织编写.《义务教育初中数学课程标准（实验稿）解读》.北京师范大学出版社.2002.4[5]黄永明、亢红道编著.《中学数学教学法概论》.云南大学出版社.2003.1[6]刘增利主编.《九年级数学·教材知识全解》.北京教育出版社.2007.5[7]薛金星主编.《初中数学解题方法与技巧（修订版）》.北京教育出版社.2010.4. z.。