胡不归与阿氏圆.docx

 PA+k ·PB ”型的最值问题【问题背景】“ PA+k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点1. 当 k 值为 1 时，即可转化为“ PA+PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理 ;2. 当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究 即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动1) 其中点 P 在直线上运动的类型称之为 “胡不归”问题；(2) 点 P 在圆周上运动的类型称之为 “阿氏圆”问题知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；123（216－56.52）÷216456≈0.738≈73.8％78“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“ PA+k · PB ”（ k≠ 1 的常数）型的最值问题两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将 k·PB 这条线段的长度转9化为某条具体线段 PC 的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。

不过两类问题的难点都在于如何对 k 值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于 k( 如 k 值＞ 1 则要先提取 k 去构造某角的正弦值等于或等于 )将 k 倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形， k 值如大于 1 则将线段扩大相同的倍数取点， k 值如小于 1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。