12高数上32洛必达法则.doc

学会从概貌开始O比如拼图游戏，如果你事先看了结果，你会很快地拼出来；但是，如果你根本不知道结果是什么，难度就会成百倍的增加当然，拼图以外的其它学习也是这样7、定理33(P96)§32洛必达法则洛必达UHospital法则(Y型)00x).Ff(x)存在，SFf(x)^0设:OL)limf(x)=limF(x)=ooXTX2) 在"的某个空心邻域內’(3) lim厂("丿=A(4为有卩XT*Ff(X)则：lim仝丄=lim空°(=A)XTXF(X)XfXFf(X)或者无穷大)2、注意：(7)定理对于其它的极限过程也成立，只是要把定理叙述中的区间作相应的变换2) 定理条件中，两个函数的极限同是无穷大时，定理依然成立称兰型)(3) 以上型.丫型的极限称为不定式000另有其他类型的不定誌;o.oo型|、k-8型1」0型型LZ型I,也可以用洛必达法则疲限应用洛必达法则求极限，应当注意以下情况:(7)不符合洛必达法则的条件(如：不是不定式)则不錠用2)符合洛必达法则的条件，可以连续多次使用洛必达法则(3)与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则4、洛必达法则求极限举例卜tanx-x求:limxsinx解:tanx—xlimxtox2sinxsec1xlimlintsecx=1x->0tanx—xlimxtOxxtanx—x=limsinxsox-12sec2xtanx2——=lim3兀/6x1tanx1-lim3xtOX(4) 洛必达法则的条件是充分而非必要的。

懊陽不存在’不能说吻筒不存在也许用其它方法能够鼎极限求limXT+oO事实上,X2+1X2下例也是不能用洛必达法则求极限（但极限确实存在）的例子lintX+cosX解:―X+cosXlimXT8(1)=lim1——cosx=1+0=1X但是，用洛必达法则谏则有X+cosX=lim(l-sinx).XS后一个极限不存在补例4求伽x一sinxX3解lintxtO兀一sinx=limxtO1-cosx3x2,6丿sinxXTO6x对于x—>时的未定式6,有相应的洛必达法则（卩97”说明「・--arctanx补例5求limXT+oOX(0、,6丿X->+oOTarctanx1二lim」黑X->-KX)1=lim厶=1、对于^—或^T00时的未定式一,也有相应的洛必达法则00补例6解七■・Inx求仇XT+co兀〃（n〉0）1‘8和Inxlim——XT+COXH=UmXT+00fix兀T+snxn=0补例7求Um（n为正整数2>0）f-XT+oo0心'Zlim—7—XT+oC訂X二lim-XT+822/1•严=巴灵石=0（若兀不为正数？如兀=xT+oo时,y=e^,y=xa,y=加兀都是无穷夫但增大速度不同1=1£加最快，r次之加兀与前两者比较最慢。

其它未定式0・8型.oo—oo型、补例8求HtnxtlInx(n>0)(0-oo)oo解吧g他啓ooye==lim2+o—nx1—x——r二lim=0-/I_1兀t+0n-tan兀)(oo-oo)补例9求仞n(secxnx->-/i・、1sinx^COSXCOSX)2nXT—2解lim(secx-tanx)=limn2-cosX=0-sinx..1-sinx時=lim==lim0COSX龙x->—22幕指型不定式求极限举例基本思路:0型、「型、00limIny--A根据对数基本公式级补例10求lintxxxt+0limy=eA（见补例5limx11Inx=0XT+0解设V—xxIny=xlnxlimIny=limxlnx=0XT+0XT+0.・.limxx=limy=limelnyXT+0XT+OXT+O对数基本公式N=』N由对数基本公式和指数函数的连续性/、limInf(x)limf(x)=limenf(x)=ex"这个式子结构上层次较多，“楼上有楼”不便使用所以常采用指数函数的另外一种记法：ex又记作exp(x)许多计算机程序中，指数函数就是用这种记法如I：空p(0)==1exp(sinx)=eSI,lx特别exp(xsinx)=exSi，，x等号左边的表示法就显得较为简洁。

且不易与相混于是，对数基本公式可以写成:N=explnN这样，前面的例子就可以有以熟练后红框内的步骤可以省略求limxx+(>一^一_士—一v=limexpInxx=limexpxInx兀一＞+oXT+OlimxInx*+0或：由补例8知道这个极限为0=explim(-x)=exp(0)=11xtO解.limxXT+O=exp、00T02==explimx->01xxsinx-expIMs补充练习，求：limxsinxXT+O解limxslnx=explimInxtO+xtO+=explim=explim兀to+escxtanxx指数函数的连续性，函数符号如;CXsinxtanx‘八、.=exp(0)=1。