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模糊数学 7孙舒杨孙舒杨. sysunjlu.edu:内容回想内容回想n普通关系普通关系 模糊关系模糊关系n有限论域上，布尔矩阵有限论域上，布尔矩阵 模糊矩阵模糊矩阵n模糊关系〔模糊矩阵〕的运算模糊关系〔模糊矩阵〕的运算2:3-5 模糊关系的合成模糊关系的合成:经典关系的合成经典关系的合成nX表示人群表示人群n兄弟关系兄弟关系Q：：X X，父子关系，父子关系R：：X X，叔侄关系，叔侄关系S：：X Xn问：问：Q,R,S这三个关系之间存在着什么这三个关系之间存在着什么关系？关系？4:叔侄关系叔侄关系nx,z存在叔侄关系〔存在叔侄关系〔x是是z的叔叔或伯的叔叔或伯伯〕伯〕？？n存在一个存在一个y，，y是是x的兄弟，且的兄弟，且y是是z父父亲nxSz存在存在y∈∈X,使使xQy且且yRzn称叔侄关系称叔侄关系S是兄弟关系是兄弟关系Q和父子关和父子关系系R的合成，的合成，记为S=QоR5:关系合成的定义关系合成的定义n设Q∈∈P(U×V),R∈∈P(V×W), S∈∈P(U×W)n假假设(u,w)∈∈S存在存在v∈∈V,使使(u,v)∈∈Q且且(v,w)∈∈R，那么称关系，那么称关系S是由关系是由关系Q与关系与关系R合成的，合成的，记作作S=QоR6:合成关系的表示合成关系的表示n关系关系Q和关系和关系R的合成可以表示为的合成可以表示为7:经典关系合成经典关系合成 模糊关系合成模糊关系合成n设Q∈∈F(U×V),R∈∈F(V×W),所所谓Q对R的合成，就是从的合成，就是从U到到W的一个模糊关的一个模糊关系，系，记作作QоR，其隶属函数，其隶属函数为8:R2=？？n假假设R∈∈F(U×U),记R2 = RоRnRn = Rn-1оR9:模糊关系的合成模糊关系的合成——例例1n设R1R1为X×YX×Y上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数其隶属函数满足足n n设R2R2为Y×ZY×Z上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数其隶属函数满足足n试求求R1R1、、 R2 R2的合成。

的合成10:例例1的答案的答案n把把y当作变量，把当作变量，把x和和z都当作常量都当作常量11:例例1的答案的答案12:模糊关系的合成模糊关系的合成——例例2n设R为模糊关系模糊关系“x远大于大于y〞，其隶属〞，其隶属函数如下，那么合成关系函数如下，那么合成关系RоR应该为“x远远大于大于y〞，〞，试问其隶属函数是什其隶属函数是什么？么？13:例例2答案答案14:例例2答案答案n同例同例1一样，首先把一样，首先把y作为变量，作为变量，x和和z均当作常量，画出对应的曲线均当作常量，画出对应的曲线15:例例2答案答案n求出交点的横坐求出交点的横坐标z*n求得交点的求得交点的纵坐坐标，即，即为合成关系合成关系RоR的隶属函数的隶属函数16:模糊关系合成的矩阵表示模糊关系合成的矩阵表示n对于有限论域上的模糊关系，可表对于有限论域上的模糊关系，可表示称模糊矩阵示称模糊矩阵n模糊关系的合成模糊关系的合成 模糊矩阵的合成模糊矩阵的合成17:模糊矩阵合成模糊矩阵合成18:19:模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积20:模糊矩阵乘积模糊矩阵乘积vs.经典矩阵乘积经典矩阵乘积n实数相乘数相乘“×〞〞  实数取小数取小“∧∧〞〞n实数相加数相加“+〞〞  实数取大数取大“∨∨〞〞21:课题作作业：：计算算RоS22:模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质1,2(1)结合律合律 (QоR)оS=Qо(RоS)(2) 0-1律律 0оR=Rо0=0IоR=RоI=R23:模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质3,4(3) Q⊆⊆R⇒⇒ QоS⊆⊆RоS Q⊆⊆R⇒⇒ Qm⊆⊆Rm(4) 分配律〔分配律〔对∪∪分配〕分配〕(Q∪∪R)оS=(QоS)∪∪(RоS)Sо(Q∪∪R) =(SоQ)∪∪(SоR)24:请计算请计算25:模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质合成运算的交运算的分配律不成立！合成运算的交运算的分配律不成立！留意留意26:模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质5,6(5) (QоR) λ= Qλо Rλ推推论 (Rn) λ= (Rλ)n(6) (QоR) T= QTо RT推推论 (Rn) T= (RT)n27:课后作业课后作业28:3-7 模糊等价关系及聚类图模糊等价关系及聚类图:模糊关系的三个概念模糊关系的三个概念n自反性自反性n对称性对称性n传送性传送性30:自反性自反性n假假设模糊关系模糊关系R满足足R(u,u)=1或或I⊆⊆R，那么称，那么称R具有自反性具有自反性n模糊自反矩模糊自反矩阵nrii = 1n例如：例如：31:自反矩阵的定理自反矩阵的定理定理定理. 设模糊矩模糊矩阵 A ∈∈Mn×n是自反矩是自反矩阵，，那么有那么有I ⊆⊆ A⊆⊆A2 ⊆⊆ A3 ⊆⊆…⊆⊆ An-1 ⊆⊆An⊆⊆…证明明:32:对称性对称性n假设模糊关系假设模糊关系R满足满足R(u,v)=R(v,u)，那，那么称么称R具有对称性具有对称性n模糊对称矩阵模糊对称矩阵nrij = rjin例如：例如：33:传送性传送性n假假设模糊关系模糊关系R满足足RоR⊆⊆R，那么称，那么称R具有具有传送性送性n模糊模糊传送矩送矩阵34:模糊模糊传送矩送矩阵——例例35:模糊传送矩阵的定理模糊传送矩阵的定理定理定理. 设模糊矩模糊矩阵 Q ∈∈Mn×n是是传送送矩矩阵，那么有，那么有Q ⊇⊇Q2 ⊇⊇ Q3 ⊇⊇… ⊇⊇Qn-1 ⊇⊇Qn ⊇⊇…证明明:36:模糊等价关系模糊等价关系定定义. 模糊关系模糊关系R∈∈F(U×U) , 满足足〔〔1〕自反性：〕自反性：R (u,u)=1;〔〔2〕〕对称性：称性：R(u,v)=R(v,u);〔〔3〕〕传送性：送性：R2 ⊆⊆R那么称那么称R为模糊等价关系模糊等价关系37:模糊等价矩阵模糊等价矩阵n假设论域假设论域U是有限论域，那么是有限论域，那么U上的上的模糊等价关系模糊等价关系R可表示为模糊等价矩可表示为模糊等价矩阵阵n模糊等价矩阵模糊等价矩阵n自反性自反性 rii = 1n对称性对称性 rij = rjin传送性传送性38:R能否为模糊等价矩阵？能否为模糊等价矩阵？设论域设论域U={x1, x2}，，39:等价布尔关系等价布尔关系n一个布尔矩阵具有如下特性，那么一个布尔矩阵具有如下特性，那么称其为等价的布尔矩阵，对应一个称其为等价的布尔矩阵，对应一个普通的等价关系普通的等价关系n自反性自反性n对称性对称性n传送性传送性40:。