连续统假设的否定三.doc

连续统假设的否定（三）一、 摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设二、 关键词：（一）连续统假设 （二）可测集 （三）可测函数 （四）零测集 （五）收敛 （六）一致收敛三、 连续统假设的推论（4）（一）存在一个实变函数的无穷序列{fn(x)}（n为任意自然数），它在每一个不可数集上收敛，但不一致收敛下面我们证明推论（4）不成立引理一、可测集E的任一子集都可测证：设集合E1为可测集E的任一子集，则集合E1及E-E1都是可测集，否则若其中之一，如E1不可测，则E=E1+(E- E1)也不可测，和E为可测集的假设矛盾，故E1及E-E1皆为可测集引理二、设函数列{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上，则{fn(x)}皆为E上的可测函数证：根据假设{fn(x)}(n为任意自然数)定义在可测集E上，则{fn(x)}在E的子集E（fn(x)>t）(n为任意自然数，t为任意实数)上也有定义，根据引理一，E的子集E（fn(x)>t）也为可测集，根据可测函数的定义，所有的{fn(x)}皆为E上的可测函数引理三、若函数f(x)为可测集E上的可测函数，则f(x)在E上几乎处处有限。

证：若f (x)为可测集E上的可测函数，则f(x)在E上勒贝格可积[二]，于是f(x)在E上几乎处处有限[三]＇＇定理一、设E为任意一个不可数集，{fn(x)}（n为任意自然数）为定义在集合E上任意一个处处收敛的实函数列，其极限函数为f(x)，则至少存在E的一个有界不可数于E1δ，使{f(x)}在E1δ上一致收敛于f(x)证：根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理一，E中存在凝聚点X，且X∈E，设E中所有凝聚点的集合为E1，根据该文的引理二，E1为不可数集，且为闭集，故E1为可测集[二]，下面分两种情况讨论：＇（一） 当E1无界时，取其有界的一段E1＇（二） 当E1有界时，改E1为E1＇＇＇由于E1为E1的子集，根据引理一，E1可测，由于E1＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇是有界集合，故m E1<+∞，又根据假设，{fn(x)}为定义在E上处处收敛的实函数列，其极限函数为f(x)，故{fn(x)}在E的子集E1上也有定义，且在E1上也处处收敛于f(x)，{fn(x)}既定义在E1上，根据引理二，{fn(x)}皆为E1上的可测函数，且其极限函数f(x)在E1上也可测[三]，又根据引理三，{fn(x)}及f(x)在E1几乎处处有限，因此可得集E1及函数列{fn(x)}在E1上满足叶古洛夫定理的条件，根据叶古洛夫定理，存在的E1的可测子集E1δ,使{fn(x)}在E1δ上一致收敛于极限函数f(x)，其中E1- E1δ为零测集。

＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇＇最后还要证明E1δ为不可数集，由于E1=E1δ+( E1- E1δ)，前面已证出E1为不可数集，根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理三，E1的有界子集E1也为不可数集(可以证明E1全由凝聚点组成)，如果E1δ不为不可数集，则E1δ为至多可数集（一），于是E1也为至多可数集，这就和前面所证出的结果矛盾，故E1δ为不可数集＇＇＇＇＇＇这样，对于任意不可数集E中任一个收敛的实函数列{fn(x)}，都至少存在E的一个有界不可数子集E1δ（因E1δ⊂E1 ⊂E），使{fn(x)}在E1δ上一致收敛于极限函数f(x),其中E1- E1δ为零测集于是连续统假设的推论（4）[一]被推翻四、 连续统假设的否定推论（4）是在连续统假设成立的假设下推岛出来的，现在证出推论（4）不成立，说明连续统假设也不成立（因原命题和逆否命题等价），通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设，它是广义连续统假设的特殊情况，狭义连续统不成立，广义连续统假设就更不能成立到现在为止，连续统假设这个命题已得到彻底解决注解（一）：现在假设a（可数集的势）和（不可数集的势）之间没有中间势，即假设连续统假设成立，推论（4）势在连续统假设成立的假设下推到来的，现在根据同样的假设，又证出推论（4）不成立，这就出现矛盾，此矛盾说明连续统假设不成立。

参考文献（一）：连续统假设 （张锦文 王雪生）合著出版地点：沈阳辽宁教育出版社出版时间：1989年4月参考文献（二）：实变函数及泛函分析基础 程其襄等著出版地点：北京高等教育出版社出版时间：1983年12月参考文献（三）：实变函数论 徐森林著出版地点：合肥中国科学技术大学出版社出版时间：2002年2月作者：陈守仁 河北大学数学系本科 六O界毕业生退休前担任天津市家电五厂职工夜校 数学教师。