八年级数学-张美玲-海伦公式.docx

C１4０７班的李镜楠有一天拦住我,说:“教师,我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗?”海伦公式一、什么是海伦公式？ 　 如图1,在三角形ＡBC中,Ａ=15，B=１４,Ｃ=1３,求三角形ＡBC的面积,运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗? 　 　 图１像这样的题目，用海伦公式很容易解决,那么,什么是海伦公式呢？海伦公式:三角形的面积其中:、、 分别是三角形的三边长,海伦公式亦称“海伦－秦九韶公式”此公式(运用三角形的三条边长来求三角形面积)相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Ｍｅｔriｃa》中找到其证明亦有觉得早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Meｔriｃａ》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时期很有也许先于海伦的著作 　 亚历山大里亚的海伦（希腊语: Ἥρων ὁ　Ἀλεξανδρεύς)（公元-70年) ,是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省她也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师,她被觉得是古代最伟大的实验家，她的著作在希腊化时期文明（Hellenistｉｃ civilization）科学老式方面享负盛名国内南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。

问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷．”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上,余四约之为实，……开平方得积若以大斜记为　,中斜记为 ,小斜记为 ,用现代公式表达即为:能否由秦九韶的公式推导出海伦公式?二、 秦九韶公式推导出海伦公式详见人教版教材八年级下册三、 秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高,猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，运用理解方程的措施,从三角形最基本的面积公式入手，运用勾股定理,布列方程组求高如图２,　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　　 　 在△ABC中，AＤ为边BＣ上的高,根据勾股定理，有解方程,得，,又由于,因此三、 海伦公式的证明那么，海伦公式如何证明呢？海伦公式:三角形的面积其中:、、 分别是三角形的三边长,证明（1):由余弦定理可知： ,由此得出ﻩﻫ由 　可得：　, ,　, ，因此:由三角形面积公式 　即得　上述证明用到了三角函数　 、,由于初二年级的学生还没有接触三角函数,我们也可以考虑用如下的措施证明。

CABT图3TBAC图4是　△ 的　边上的高,点　 为垂足记 ,,，，(见上图）证明(2):若　△ 是锐角三角形(图3)，则由勾股定理有由(1）式得出 ,带入(２）式　: 展开，即得 ,由此式解得 ,类似于证明（1),得出　，由于三角形面积 ，由上式即得 若 △ 是钝角三角形(图4)，不失一般性,设 ,则由勾股定理有类似于 △ 是锐角三角形的状况，可得　，因而亦得 若　△ 是直角三角形(图4)，不失一般性，设 　,由勾股定理有 故，此时仍有 　　四、 海伦公式的推导海伦公式形式美丽,构造工整，有多种变形,如：S====＝＝三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简朴四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢?由于三角形内接于圆,因此猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设四条边长分别为，且，则Ｓ四边形=现根据猜想进行证明证明：如下图,延长DA，CB交于点E设EＡ　= ｅ 　ＥB = f∵∠１+∠2 ＝180○　 ∠2＋∠3 ＝1８０○∴∠１　＝∠3 ∴△EＡB～△ＥＣＤ∴ ＝　 　 =　　 　 ,　 　＝　 　解得： e　=　 　③　　 　 　　 　　 　 　f ＝　 　④由于S四边形ABＣD =S△EＡＢ将③,④跟b =代入海伦公式公式变形，得：∴S四边形AＢＣD　=＝===＝=====因此，海伦公式的推广得证。