(2.1.1)--2.1直梁的有限元分析.ppt

有限元法的基本思想 1）“离散化”2）建立单元节点力和节点位移之间的关系3）所有单元的集合，形成整个结构的力学特性关系内容回顾第2章有限元法的直接刚度矩阵 1.1 直梁(弯曲)分析 1.2 平面刚架(拉压、弯曲)单元分析xyzxyzMzFyFyFxMz2.1 直梁的有限元法（直接刚度矩阵）结构在受力变形过程中节点位置的改变，称为节点位移节点位移分为线位移和角位移作用在节点上的外载荷，称为节点载荷节点载荷包括直接作用在节点上的外载荷和等效移置到节点上的载荷单元和节点之间的作用力称为单元节点力ABCDFMYX4MzFy312yXeij单元离散化单元分析 划分单元的原则:杆件的交点、截面变化处、支撑点和自由端、集中载荷处、欲求位移处、单元长度接近2.1.1 直梁节点位移与节点载荷yXeijqi fiqj fjmi imj jMz4Fy123YXQi fiMi i梁单元上每个节点的节点位移有两个：挠度f和转角，写成列阵形式（i节点的节点位移）：梁单元节点上的节点载荷有两个：横向力Z和力偶M与节点位移相对应，写成列阵形式（i节点的节点载荷）：结构的自由度 梁的每个节点有2个位移分量，我们称每个节点有2个自由度，整个梁有4个节点，共有8个位移分量，我们称整个梁有8个自由度。

梁上全部节点的位移用一个列阵表示，全部节点的载荷用一个列阵表示，即结构的节点位移列阵结构的节点位移列阵 结构的载荷位移列阵结构的载荷位移列阵 一般规定一般规定：和和 以向上为正；以向上为正；和和 以逆时以逆时针为正补充知识：材料力学求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数解：PLxy写出弹性曲线方程并画出曲线故由剪力产生的最大挠度及最大转角xyPL同理由弯矩产生的最大挠度及最大转角2.1.2 直梁单元刚度矩阵 单元节点位移和节点力yXeijqi fiqj fjmi imj j=fii fjj T 节点位移=fiifjj=u1 u2 u3 u4 T=qi mi qj mj T 节点力 p =qimiqjmj=S1 S2 S3 S4 T 单元节点位移和节点力之间的关系挠度转角剪力弯矩单元刚度矩阵单元刚度矩阵写成矩阵形式：根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性关系所以，单元的节点力和节点位移的关系可以表示为：单元节点位移和节点力之间的关系 节点力 p =qimiqjmj 节点位移=fiifjj挠度转角力弯矩?yXeijqi fiqj fjmi imj j单元节点位移和节点力之间的关系：叠加法在j点固定，令i点有如图所示的位移，即有：单元第个节点位移分量等于1，其它位移分量等于0时，对应的第1个节点力分量；：单元第个节点位移分量等于1，其它位移分量等于0时，对应的第2个节点力分量；:单元第l个节点位移分量等于1，其它位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量；求单元刚度矩阵中的各元素求单元刚度矩阵中的各元素 1.求第一列各元素，对应着如图所示悬臂梁的节点力 应用叠加原理:其中，解方程得:对梁单元分析受力列平衡方程:解得:2.求单元刚阵的第二列元素：对应如图所示悬臂梁的节点力:应用叠加原理：解得:对梁列平衡方程，得:同理，求得单元刚阵的其它元素，从而得单元刚阵：可以看出，单元刚度矩阵是一个对称矩阵单元刚度矩阵是一个对称矩阵，即将单元刚度矩阵的公式应用于三个实际的梁单元：对单元刚度矩阵，我们通常采用分块表示的方法，如第2单元写为：单元节点位移和节点力之间关系单元刚度矩阵方程S1miqjmju1jfij=4EI l-6EI l26EI l22EI l-12EI l36EI l26EI l212EI l3-6EI l2-6EI l2-12EI l34EI l2EI l-6EI l26EI l212EA l3 p =K eee K 单元刚度矩阵其物理意义：矩阵的每个元素kij，表示当j节点位移分量等于1且其他节点位移分量为时，对应于第i节点力分量。

如：k11为当fi=1,i=fj=j=0时,所对应的节点力分量qi,mi,qj,mje节点位移 e节点力 p efiqi12EIl3yXeijqi fiqj fjmi imj j对称直梁单元刚度矩阵 单刚矩阵元素表示单元发生某种单位位移时所对应的节点力，反映单元抵抗这种变形的能力（刚度）；单刚矩阵为对称矩阵、奇异阵（行列式等于0）；el 单刚只与单元的形状、尺寸和材料有关，而与单元的位置无关；E单元材料弹性摸量 I单元截面惯性矩l单元长度主对角线4EI l-6EI l26EI l22EI l-12EI l36EI l26EI l212EI l3-6EI l2-6EI l2-12EI l34EI l2EI l-6EI l26EI l212EI l3K =e 单元刚度矩阵K 的特性e 单刚矩阵的阶数与单元的节点位移数和节点数有关:2nx2n=4x4阶单元节点数(本例n=2)单元刚度矩阵K 可以用子矩阵块表示ekjikjjkijkii单元刚度矩阵用子矩阵块ki j2x2表示4EA l-6EA l26EA l22EA l-12EA l36EA l26EA l212EA l3-6EA l2-6EA l2-12EA l34EA l2EA l-6EA l26EA l212EA l3K =e 单元刚度矩阵K 的子矩阵块 k i j 表示:当 j 节点发生单位位移，且其他节点位移为时，对应于 i 节点的节点力eleij=kjiekijekjjekiie2.1.3直梁总体刚度矩阵 总体分析 节点的位移与载荷 节点位移与载荷关系 总体刚度矩阵 有限元法是把一个连续体，简化为由有限个离散单元组合而成的等效离散模型进行求解的。

ABCDFMMz4Fy123YX离散化yXeij单元分析单元集合总体分析一、建立节点平衡方程式取各节点为研究对象，列平衡方程：节点3、4同上，共得8个平衡方程，称为有限元的基本方程，矩阵形式为：是整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束反力）；是整个结构的节点位移列阵；称为结构的整体刚度矩阵，又称为总刚矩阵二、整刚矩阵的叠加法：把所有单元的刚度矩阵中的每一元素按照一定方式叠加到整体刚度矩阵中的对应位置中去,形成整刚矩阵Mz4Fy123YXp1p2=k111k211k121k2211211单元1p2p3=k222k322k232k3322322单元2p3p4=k333k433k343k4433433单元3 由单刚方程 p=K eee 节点载荷 Qi=pi+piee+1节点1 Q1=p11节点2 Q2=p2 +p212节点3 Q3=p3 +p323节点4 Q4=p43总体分析单元分析123243节点1 1=11节点2 2=2 =212节点3 3=3 =323节点4 4=43 节点位移 ie总体分析节点位移与节点载荷的关系总体刚度矩阵 K k111k121k211k221+k222k322k332k232+k333k433k443k343000000Q1Q2Q3Q4节点载荷 Q 节点位移 1 2 3 4=4123YX123243单元集合总体分析Q=K 总体刚度方程 总体刚度矩阵的集成方法单元刚度矩阵yXeij集成K =ekiiekjiekijekjjek111k121k211k221+k222k322k332k232+k333k433k443k343000000总体刚度矩阵集成“对号入座”单元刚度矩阵“对号入座”集成1 2 3 41234节点号K=e=1Ke3=4123YX总体刚度矩阵的性质称对称对 总体刚度矩阵子矩阵块 k i j 2x2表示K=k111k121k211k221+k222k322k332k232+k333k433k443k343000000 总体刚度矩阵K的特性 总刚矩阵元素表示整个结构发生某种单位节点位移时所对应的节点载荷，是组成结构的各个单元刚度的总和；总刚矩阵为对称矩阵、奇异阵；总刚矩阵的阶数与结构的节点位移数和总节点数有关:2nx2n=8x8阶主对角线上的元素恒为正。

总刚非零元素呈稀疏、沿主对角线带状分布；总节点数(本例n=4)k21k12k22k11k41k32k42k31k23k14k24k13k43k34k44k33=支点的挠度和支点的挠度和转角为零支点的垂直反力和支点的固端反力2.1.4 边界约束与直梁问题求解Mz4Fy123YX 问题求解必需引入边界约束条件，修改总刚方程！总刚方程：Q=K 总刚方程为个方程组成；个节点载荷已知个，未知个；个位移分量已知个，未知个；总刚方程为个方程，共含有个未知量，可以求解！但因总刚矩阵是奇异阵不可求逆，而使方程组的解是不定的？如何修改？例题！4个节点，3个单元，个位移分量总体刚度矩阵为 K 8x82.1.5 有限元基本方程的求解有限元基本方程为：位移边界条件为：载荷边界条件为：代入边界条件，得划掉已知位移所在的行、列，可得：位移法的基本方程例：如图所示梁，已知EI，w，L，求B截面的转角及约束反力解：1.划分单元，对单元和节点进行编号2.分析每一个单元，得单元刚度矩阵，并写成分块形式直梁单元的单元刚度矩阵公式为：3.3.叠加法形成整体刚度矩阵叠加法形成整体刚度矩阵有限元基本方程为：有限元基本方程为：4.代入位移边界条件和载荷边界条件，解方程组位移边界条件为：载荷边界条件为：求得：5.回代方程组，求得各节点载荷，即约束反力。

总结有限元求解问题的基本过程为：1.划分单元，对单元和节点进行编号；2.分析每一个单元，得单元刚度矩阵，并写成分块形式；3.整体刚度矩阵，有两种方法：方法一：对整个结构的每个节点受力分析，并列平衡方程，得整个结构的有限元基本方程，从而得整体刚度矩阵方法二：由单元刚度矩阵直接叠加形成整体刚度矩阵代入位移边界条件和载荷边界条件，并降阶处理，求解降阶后的基本方程，得节点位移5.回代没有降阶的基本方程，得节点载荷等。