函数与极限-习题课教学讲义.ppt

第一章 函数与极限习题课一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念函 数的定义函 数的性质奇偶性单调性有界性周期性反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数双曲函数与反双曲函数（一）函数数列极限函 数 极 限左右极限极限存在的充要条件无穷大两者的关系无穷小的性质极限的性质求极限的常用方法无穷小判定极限存在的准则两个重要极限无穷小的比较等价无穷小及其性质唯一性（二）极限1、极限的定义：单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续左右连续连续的充要条件间断点定义 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点第一类 第二类在区间a,b上连续连续函数的运算性质初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的 性 质1、连续的定义单侧连续连续的充要条件 闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理二、例题例解将分子、分母同乘以因子(1-x), 则例解例解例6解例证明讨论:由零点定理知,综上,例 证即xn单调减，有下界故由单调有界原理得例 求解一例 求解例. 求极限例解一解二例 证明证由夹逼定理知例解因f(x)在x=0处为无穷间断，即又x=1为可去间断，例解从而由等价无穷小的代换性质得例利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程至少有一实根证故由函数极限的保号性质可知又 n 是奇数，所以故由零点定理知和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2积化和差sinsin = -cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2。