三次样条插值(课堂PPT).ppt

总结 三次样条插值函数的误差估计 三转角算法 三弯矩算法 三次样条插值函数的概念 三次样条插值 三次样条插值 学习目标 知道三次样条插值函数的概念 会求三次样条插值函数 进行误差分析 3 高次插值出现龙格现象 但分段线性插值在节点处不一定光滑 但导数值不容易提取 找到 举例 1汽车 船的外形设计 流体力学等要求流线型 光滑 2木样条的来源 三次样条插值函数的概念一 背景 4 数学里的样条 Spline 一词来源于它的直观几何背景 绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁 构成样条 固定在样点上 在其它地方让它自由弯曲 然后画下长条的曲线 称为样条曲线 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成 在连接点击样点上要求二阶导数连续 从数学上加以概括就得到数学样条这一概念 5 相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange 6 定义2 8 三次样条函数 多项式 即具有连续的一阶 二阶导数 满足下述条件 的一个3次样条函数 二 样条函数的定义 7 提出问题 如何计算 误差估计 问题的提法 给定数据表构造3次样条函数 满足插值条件 8 构造方法 S x 应具有如下形式并且满足条件 2 42 和 2 43 9 分析 4n个待定系数 从而S x 共须4n个独立条件确定 内部条件 S和S S 在n 1个内结点连续 即满足条件 2 43 因而 2 43 给出了3 n 1 个条件 2 43 10 已有条件 共有 个条件 要唯一确定 还必须附加2个条件 2 42 提供了n 1个独立条件 边界条件 附加2个条件 有多种给法 最常见的给法是 a 简支边界 导致三弯矩关系式 M关系式 特别地 自然边界 三次自然样条 b 固支边界 导致三转角关系式 m关系式 2 44 2 45 11 第3种边界条件 周期边界条件 为周期函数 此时称 为周期样条函数 12 这样 由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件 就能得出4n个方程 可以惟一确定4n个系数 从而得到三次样条插值函数S x 在各个子区间 xi xi 1 上的表达式S xi i 1 2 但是 这种做法当n较大时 计算工作很大 不便于实际应用 因此我们希望找到一种简单的构造方法 且 定理2 8 3次样条插值函数存在唯一 2 给定边界条件 则 于 存在 13 推导方法 该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示 该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示 14 三次样条插值函数的二阶导数表示 三次样条插值函数可以有多种表达式 有时用二阶导数值表示时 使用更方便 在力学上解释为细梁在处的弯矩 并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关 故称用表示的算法为三弯矩算法 2 3 2三弯矩算法 15 由两点拉格朗日插值可表示为 参数 对上式积分 得 再积分 得 16 由条件 确定积分常数 17 将上式代入 2 48 得到三次样条插值函数的表达式 由上讨论可知 只要确定Mj j 0 1 n 这n 1个值 就可定出三样条插值函数S x 为了确定Mj j 0 1 n 对S x 求导得 18 19 20 2 55 上式两边同乘以 即得方程 若记 2 56 21 所得方程可简写成 2 58 即 2 57 三弯矩方程 22 这是一个含有n 1个未知数 n 1个方程的线性方程组 要完全确定Mi i 0 1 n 的值还需要补充两个条件 这两个条件通常根据实际问题的需要 根据插值区间 a b 的两个端点处的边界条件来补充 23 由 2 53 得 由 2 54 得 则令j 0 令j n 24 25 2 若 已知 代入方程 2 58 只需解n 1个方程 26 3 对第三类边界条件 两边同除以 j n j n j 0 27 令 得 又由 三弯矩方程可写为 28 29 说明 1 方程组 2 59 2 61 系数矩阵都是严格对角占优矩阵 因此方程组 2 59 2 61有唯一解 2 Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩 且弯矩与相邻的两个弯矩有关 故方程组 2 59 2 61 称为三弯矩方程 Mj在数学上称为曲率 实际上 方程组 2 59 2 61 的系数矩阵是一类特殊的矩阵 在后面线性方程组的解法中 将专门介绍这类方程组的解法和性质 30 例2 14设在节点上 函数的值为 试求三次样条插值函数 满足条件 解 1 利用方程组 2 56 进行求解 可知 31 对第一类边界条件 代入三次样条插值函数的表达式 2 50 经化简有 32 仍用方程组进行求解 不过要注意的不同 由于和已知 故可以化简得 33 由此解得 将代入三次样条插值函数的表达式 2 50 经化简有 34 例2 15已知的函数值如下 x1245f x 1342 在区间 1 5 上求三次样条插值函数S x 使它满足边界条件 解 这是在第二种边界条件下的插值问题 故确定的方程组形如 2 60 所示 由已知边界条件 有则得求解的方程组为 35 根据给定数据和边界条件算出与 36 则得方程组 解得 又 即得S x 在各子区间上的表达式 由式 2 51 知 S x 在上的表达式为 代入式 2 50 将代入上式化简后得 37 同理S x 在上的表达式为 S x 在上的表达式为 38 故所求的三次样条插值函数S x 在区间上的表达式为 39 2 3 3三转角算法 40 根据Hermite插值函数的唯一性和表达式可设S x 在区间 xi xi 1 i 0 1 n 1 的表达式为 41 对S x 求二次导数得 于是有 同理 考虑S x 在 xi 1 xi 上的表达式 可以得到 42 利用条件 得 方程组 2 63 是关于的方程组 有个未知数 但只有个方程 可由 2 44 2 46 的任一种边界条件补充两个方程 43 由此可解得m1 m2 mn 1 从而得S x 的表达式 2 64 对于边界条件 2 45 两个方程则m1 m2 mn 1满足方程组 44 对于边界条件 2 44 可导出两个方程 2 65 45 若令 则 2 62 和 2 65 可合并成矩阵形式 2 66 可解出 从而得S x 的表达式 46 由 2 62 和 2 67 可解出 方程组的矩阵形式为 其中 2 68 47 2 69 其中 48 误差估计式 2 69 除可以用于误差估计外 它进一步表明 当时 在插值区间上 对于满足边界条件 2 44 或 2 45 的插值函数 不仅一致收敛于 而且一致收敛于 一致收敛于 。