凯莱-哈密顿定理.ppt
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凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理设设 n阶方矩阵阶方矩阵A的特征多项式为的特征多项式为则矩阵则矩阵A满足特征方程，即满足特征方程，即证明：由于证明：由于 同时，由于同时，由于n阶伴随矩阵阶伴随矩阵 的每个元素都是的每个元素都是 的（的（n-1）阶多项式，）阶多项式，故根据矩阵的性质，可将故根据矩阵的性质，可将 写为：写为：①①其中，其中， 为为n阶矩阵将将①①两边同时右乘两边同时右乘 得得②②将将②②两边同时右乘两边同时右乘 得得④④③③ 由由③④③④得得左边左边=右边右边=因此，有因此，有将上组式子依次右乘将上组式子依次右乘得：得：⑤⑤③③④④ 将将⑤⑤组式子两边同时相加，得组式子两边同时相加，得左边左边=0右边右边=推论推论1：：矩阵矩阵A的的K次幂（次幂（K≥n）可表示为）可表示为A 的的n-1阶多项式阶多项式证明：由于证明：由于 当当k=n+1时，时，即：即：A的的n次幂可表示为次幂可表示为A的的n-1阶多项式阶多项式当当K更大时（更大时（K≥n），亦依次类推，故推论成立。
亦依次类推，故推论成立令令则则（（K≥n）） 推论推论2：： 可表示为可表示为A的的n-1阶多项式阶多项式证：证： 令令则则同理可证：同理可证： 。
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