等价无穷小的应用.doc

一、等价无穷小的概念与性质定义：当x→x0(或x→∞)时，limf(x)=O，则称函数f（x）在x→x0 时(或 x→∞)时为无穷小量当lim=1，就说与是等价无穷小性质1：设，，， ， 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，若～，～，且lim存在，则lim=lim.性质2：设，， ， 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，且～，～ ，则～注：性质1 表明等价无穷小量的商的极限求法性质2 表明等价无穷小的传递性关于等价无穷小的和与差，有以下性质：性质3：设，，， ，是同一极限过程中的无穷小量，且～，～，且lim≠-1，则+～ + 性质4：设，，， 是同一极限过程中的无穷小量，且～，～，如果lim≠1，那么-～ -性质5：设、、、及、、、是同一极限过程中的无穷小量，满足～，～，～，～，且lim≠-1 ，lim≠-1 ，其中A、B、C、D为常数，则有lim=lim另外等价无穷小在幂指函数中有以下性质；性质6：设，，，是同一极限过程中的无穷小量，且～，～，则有lim=lim性质7：设，，，是同一极限过程中的无穷小量，且～，～，其中〉0，〉0，则有lim=lim性质8：当x→0时，无穷小量（x）～（x），且（x）与（x）在[0，x]上连续，则有～二、等价无穷小的应用⑴、利用等价无穷小的性质求函数极限①利用等价无穷小的传递性直接求函数极限常见的等价无穷小有：当x→0时，x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln（1+x）～ex-1，1- cosx～x2，～1+，-1～2x例1． 解：∵当x→0时， tanx～x ， 1-cosx～则 原式= = = 注：此题也可用罗比塔法则，但通过比较，显然等价无穷小代换计算更直接简单。

例2：求解：原式= = = （∵tanx～x） = = = = 注：若直接用罗比塔法则，则会出现以下结果：原式= = = 式子越变越复杂，不能求出极限，而结合等价无穷小则很快可求出此外等价无穷小思想也可用二元函数求极限例3：求解：因为当（x,y）→(0,0)时，与x为等价无穷小所以 原式= =x =0②利用等价无穷小的和差的性质求极限例4：求解：∵==0≠-1 ==1≠-1由性质3可知： = =例5：求解：∵==3≠1 ==0≠1由性质4可知：原式====0注：利用性质3时一定要注意，若～，～，有前提条件lim≠-1时，有+～ +；同理，利用性质4时一定要注意若～，～，有前提条件lim≠1时，才有-～ -假如求 若直接这样计算==0 则是错误的因为忽略了性质3的前提条件，不满足条件，故不能用等价无穷小取代③利用等价无穷小在幂指函数的性质求极限例6：求解：因为==1+当x→0时，～x.= ～由性质5可知：原式===例7：求解：当x→时，～2x ～3x由性质6可知：====1④利用等价无穷小在积分中的性质求极限例8：求解：∵～t由性质8有：∴原式= = = = =4⑵、利用泰勒公式确定等价无穷小求极限泰勒局部公式：若（1）函数f（x）在某邻域 内有定义； （2）在此邻域内有一直到n-1阶的导数 ，，…； （3）n阶导数在点存在；则 其中 （k=0，1，…，n）特别当x=0时，有 。