大连理工考研数学分析笔记.pdf

全国考研专业课高分资料大i t理工大学.数学分析.笔记笔 记:讲义:期末题:模拟题:复习题:目标院校目标专业本科生笔记或者班笔记目标院校目标专业本科教学课件目标院校目标专业本科期末测试题2-3套目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2 套目标院校目标专业考研专业课导师复习题真 题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送!目录第二模块笔记.3第一部分实数集与函数.3第二部分数列极限.8第三部分 函数极限.10第四部分函数连续性.15第五部分导数与微分.30第六部分微分中值定理及其应用.36第八部分不定积分.51第九部分定积分.54第十部分定积分的应用.60第十一部分反常积分.68第十二部分数项级数.72第十三部分函数列与函数项级数.90第十四部分界级数.101第十五部分 傅里叶级数.116第十六部分多元函数的极限与连续.131第十七部分多元函数微分学.136第十八部分隐函数定理及其应用.148第十九部分含参量积分.152第二十部分曲线积分.163第二十一部分重积分.166第二十二部分曲面积分.175第二模块笔记第一部分实数集与函数 1实 数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.能 用 互 质 分 数:为 蛆 配q-Q）表示的数J有 理 数 有限十进小数或无限十进他称数委示的数若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。

例如：2001 记为 2000999-；0 记为 0一000 ；-三 记 为-7.999-实数大小的比较定 义1给定两个非负实数*=西 ，.JP=hjbb 其 中晖 公为非负整数，若由1）%=*,*=0，2 则 称 工 与F相等，记 为*=，2）若存在非负整 数？，使得，=八、=而%则 称X大j 3（或 严 小 于 工），分 别 记 为x y（或h 一 ，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数广4为实数工的;二位不足近似值，而有理数称为工的艮位过剩近似值对于负实数x=rZ g a,/X.=o.-工的芸位不足近似值规定为：10：H的月位过剩近似值规定为：,=f 四比 如近=14142，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为 我 的 不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为 虚 的 过剩近似值命 题 设“=%”.尸=帖”.为 两个实数，贝4=存在非负整数匹使春马 其实数的一些主要性质1四则运算封闭性：2三歧性（即有序性）:3实数大小由传递性，即a A-*e a C4 A c h i me d e s t t:d.AW H.A .0,1.W N.3 A,5稠密性：有理数和无理数的稠密性.6实数集的几何表示数轴：V oO,|a-A|0.a ab例二.绝对值与不等式恒卜（a，W绝对值定义：L .au从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：-a o ao绝对值的些主要性质L|a|=|rx|20 当且仅当 a=0*|a|=D2.3.I d友|a|/i/ia04.M由 坤5.abab&m 瑞“。

性质4(三角不等式)的证明：由性质2 Ta|4a|a|,-|b|4b|b|两式相加-(|a|+|b|)5afb5|a|4-|b|由 性 质 3 上式等价于|*b|4 a|+|b|把 上 式 的 b 换 成-b 得|a-b|M|a|+|b|三.几个重要不等式：1十 必 之|ah xL|扇.闾 工I 对“剑 ”.w R*,记*|J L（算术平均值）G（四）=驷.=（时，（几何平均值）有均值不等式：等号当且仅当时=-=/时成立.（3）Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）对 口 0,由二项展开式a+xy=厮 TW-X3+.+X-,21 31有：aa 上式右端任何-项.2数集确界2-数集.确界原理：一区间与邻域：邻域设与，是两个实数，且A Q称 点 索%=x|x-a 外为点的6号明记作U,S6称点集S (a)=|A vx 0.存 在 歹$闰则称s为无界集B.+8).(-8.0).(0.+8)等都是无界数集例证明集合 I*J 是无界数集.*=0,叭,二 号,7+”证明：对任意存在 M+l X由无界集定义，E为无界集确界先给出确界的直观定义：若数集s有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集s的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。

精确定义定义2设S是R中的个数集，若 数；满足下两条：(1)对 切 MWS 有即；是数集S的上界;对任何 （即；是 s的最小上界）则称数7为数集s的上确界记 作N 呻6定义3设 S是 R中的一个数集，若 数 学满足一下两条：对 一 切xw居 有*2,即：是数集S的下界：（4）对任何A 存在使 得&（即是 S的最大下界）则称数：为数集s的下确界记 作=i1fs 3函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象，可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的些函数应有一个清楚的认识.-函数的定义1.函数的几点说明.函数的两要素：定义域和对应法则约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.fl,狄里克雷函数 1X为Affi fi黎曼函数40,x=己既妁真分数q下=0,1和Q,1）内的无理数三函数的四则运算（见课本）四.函数的复合：六初等函数：基本初等函数：1 常函数2惠 函 数 =工”嘉函数x9，/4 具有某些特性的函数1.有 界 函 数 若 函 数 在 定 义 域二上既有上界又有下界，则称J 为二上的有界函数这个定义显然等价于，对-切 xwO,恒有请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。

例*M+8）是无界函数M：J M F+-*=J U T+-证 明 对 任 意 的 *0,存在 2，取 2,则2.单调函数奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称周期函数1）通常我们所说的周期总是指函数的最小周期2）有的周期函数不定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分数列极限 1数列极限概念对于数列设A 是 个常数，若任给,都存在相应的自然 数 M就 时，&一 川，则 称 A 为数列）的极限下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：（1）的任意性（2）W的相应性li m an=a三、用极限定义证明XT8 的例题2.数列极限的等价定义：D1：V0.叫 =卜.一比 Q）Da:对 VOeM=-或.则 对 VO r 4（或,，（或，fa n o.=o.fa n A-=A.例1设 1 证明：若瓦则 现3M .（证）定理2 5设S l4=d.型4=曲若犯时 有,&,=ab.（注 意“=”；并注意“，和4=0的情况）.推 论 若%=，蒲0,则对V双M旬，I”.4.定 理（迫 敛 性）（证）5.绝对值收敛性：（注意反之不确）.fcnB-=Of Jn|J=Q.（证）推论设数列 产 和 入 收敛，则lm m a a:（。

也）=m a x ），&n n m（s.也）=m in（Rn q.ii）.M o M v 6.四则运算性质：7.子列收敛性：子列概念.定 理（数列收敛充要条件）2 收敛=的 任何子列收敛于同一极限.定 理（数列收敛充要条件），收 敛=子列 a Z 和 1 收敛于同一极限.定 理（数列收敛充要条件）收 敛=子列片 和“2都收敛.（简 证）一、利用数列极限性质求极限：fan =0.=0,（|q|0.顼（或数列4）收敛，O V e 0.犯 VM M VpwN.VR第 三 部 分 函 数 极 限1 函数极限概念一 H趋于3 时函数的极限设 函 数 定 义 在 上/）上，类似于数列情形，我们研究当自变量H 趋于+8 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数-例如，对于函数 X从图象上可见，当 无限增大时，函数值无限地接近于0;X而对于函数sW=r e t a i l x,则 当 工 趋 于 十 8 时函数值无限地接近于2我们称这两个函数当x T*0时有极限一般地，当工趋于4-8 时函数极限的精确定义如下：定 义 1设定义在上的函数，上为定数若对任给的 存在正数“0”)，使得当X M时,有(“一，,，则称 函 数 当 工趋于+8 时以以为极 限,记 作 蚂/或/-而一时说明：(1)、在定义1 中正 数*的作用与数列极限定义中方 的 相 类似，表明工充分大的程度：但这里所考虑的是比 大的所有实数工，而不仅仅是正整数工。

因此，当 工 趋于+时函数以 二 为 极限意味着：-的任意小邻域内必含有 在+8的某邻域内的全部函数值2)、定义1 的儿何意义如下图所示，-y=.4+f y=A-f y=A ”工轴的两条直线,与,，围成以直线,为中心线、宽为一一的带形区域；定义中的“当 k M时 有|/仁 一d 0,对任意充分大的正数”，总存在某个工使得：)一 闻 之 久，则 称 函 数 当 工 趋于+00时不以二 为 极限.U 1-8)或 上 的 函 数，当 才 Tf或才1 8 时，若(3)、现设为定义在函数值(，)能无限地接近某定数一 二，则称当X T0 0或X T 0 0时以二为极限,分别记作Em y (x)=Ai *或/(x)A(X-时”分别改为 超工-0 ”或“I I ”即可问题lim f(x)w A 或lim f(x)w A的否定叙述的定义又如何写？X CO(4)、显然，若.为定义在 何上的函数，则li m/=/=li m=A(1)(返回)二工趋于三时函数的极限设J 为定义在”某 个空心邻域”1)内的函数现 在 讨 论 当 卫 趋 于 G*)时，对应的函数值能否趋于某个定数二这类函数极限的精确定义如卜.：定义2（函 数 极 限 的 定 义）设函数J在 三 某 个 空 心 邻 域 内 有 定 义，三为定数。

若对任给的e0,存在正数4 5（M,使得当时有则称函数r当工趋于工二时以三为极限，记 作 或 1 J 1 F 下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限请读者特别注意以下各例中3的值是怎样确定的通过以上各个例子，读者对函数极限的 一6定义应能体会到下面几点：1.定义2中 的 正 数 相 当 于 数 列 极 限 一 定义中的W,它依赖于但也不是由所唯一确定，一般来说，孑愈小，二也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨如在例3S=-8=-中可取 2或 3等等2.定义中只要求函数J在工二某一空心邻域内有定义，而一般不考虑 在点工：处的函数值是否有定义，或者取什么值这是因为，对于函数极限我们所研究的是当工趋于“：过程中函数值的变化趋势如在t/门 f,Bn/（x）=A定理3.9设函数/在点“：的某空心右邻域有定义的充要条件是：对任何以为极限的递减数列*J仁彳jS t泰4这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对I的取法要作适当的修改,以保证所找到的数列*能递减地趋于三.证明的细节留给读者作为练习相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理现以这种类型为例叙述如下：fjr 定理3.10设7是定义在“g，上的单调有界函数，则右极限.&存在。

证 不 妨 设，在“（、）上递增因，在“（、）上有界，由确界原理,漓”存在,记为-0li吗4）=4下 证 工 事 实 上，任 给 0,按 下 确 界 定 义，存 在 三“（.）,使 得#，）0,则由的递增性，对一切x e h，?）Z7%（z.,6）有另一方面，由*/*）,更有 e /W从而对一切:三电，,）有这就证得职九1最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则定理3.1 1 （柯西准则）设.在 内有定义如2人 ）存在的充要条件是：任 给0,存在正数（,存 在 正 数oy,使 得 对 任 何工亡吸切有昨）W于是对任何 H“，有1 4）-）卜 贝44+H）-六4 4充 分 性 设 数 列 上）匚 k且巴T按假设，对 任 给 的e 0,存在正数s（0,存 在 川0使得当时有三，三 百 (”局，从而有。