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第九章 方差分析 方差分析又称做变异数分析（缩写ANOVA），它是一种应用非常广泛的变量分析方法其作用就是对引起方差变化的各种因素进行分析和比较，从而确定各个因素对因变量是否有显著的影响 方差分析可以像Z检验一样用来比较两个或两个以上平均数的差异但是，它与Z检验相比具有以下优点：①功效高Z检验一次只能比较两个平均数，而方差分析一次可以比较多个平均数的差异②功能强Z检验只能分析，比较单因素实验结果，对于多因素实验的交互作用以及同时比较各个因素作用的大小则无能为力1心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第一节 方差分析的基本原理一、几个基本术语（概念）㈠因素：所谓因素是指实验因素，即在实验中准备考察的刺激变量——自变量㈡水平：所谓水平是指实验因素的水平，即每一个因素所处的状态或等级也就是实验因素这个变量所取的“值”㈢实验处理：所谓实验处理是指各种实验因素的不同水平的组合2心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第一节 方差分析的基本原理二、方差分析的基本原理 方差分析就是对引起方差变化的各种因素进行分析和比较，从而找出形成各样本之间差异的主要因素。

它所依据的基本原理是变异的可加性，即把实验数据之间的总的差异分解为若干个不同来源的分量，具体地说，它是将总的离差平方和分解为n个不同来源的离差平方和，然后根据每个离差平方和的大小来确定它们对总的离差平方和的贡献大小，从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响 3心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例1 从某班学生中随机抽取条件相仿的4组学生，每组5人，由4位教师采用不同的教学方法（甲、乙、丙、丁）进行某种技能的训练经过一段时间，其测验成绩如表9-1所示教学方法甲乙丙丁被试者787269667065707262667282808670807573777571677876734心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、方差分析的基本原理一般情况下：5心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、方差分析的基本原理 在方差分析中，比较组间变异与组内变异，要用各自的均方（即方差）来比较，而不能用平方和直接比较则需用各平方和除以各自的自由度，从而得到均方，以均方来比较它们各自的自由度为：6心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件三、方差分析的步骤⑴建立假设:⑵求F值:①求平方和:即求组间平方和,组内平方和及总平方和②求自由度:③求方差(均方):④求F值:⑶判断结果:7心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件三、方差分析的步骤⑷作出方差分析概要表变异来源平方和SS自由度df方差MSF值F临界值检验结果组间变异SSBdfBMSB组内变异SSWdfWMSW8心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件四、方差分析的基本条件㈠总体服从正态分布㈠总体服从正态分布㈡变异的可加性㈡变异的可加性（变异的相互独立性）㈢变异的同质性：㈢变异的同质性：即各组的变异是相等的，或者说各组的方差彼此无显著差异。

9心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件五、方差齐性检验（哈特莱法）例1的数据为例解：经计算得：10心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第二节第二节 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析一、各实验处理组样本容量相等一、各实验处理组样本容量相等11心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件表10-4 四种教学方法实验结果统计表甲乙丙丁7872696670657072626672828086708075737775nj5555Kn=2035533539038071677876252852250930604289082520522445304202888012心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例1 的计算(各实验水平的被试相等)解：⑴建立假设：⑵计算F值：①求平方和：13心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例1 的计算②求自由度：③求均方：④计算F值：14心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件⑶判断结果：变异来源平方和SS自由度df方差MSF值临界值因素变异误差变异370356316123.3322.255.29总变异72615心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第二节 完全随机设计的方差分析二、各实验处理组样本容量不同二、各实验处理组样本容量不同16心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例2：研究人员采用四种不同的心理治疗方案，对每个志愿参加治疗的患者心理治疗，他们用录音机记录了每个被试在一段时间中所讲的词数。

由于录音的困难，每种方案记录的人数各不相同原始数据见下表，问这几种方案是否有差异？解：原始数据与计算的中间数据见下表：17心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件 治疗方案12343050188874385678466634605862247662446638585280nj676423308398250302125818心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例例2的计算的计算解解:⑴建立假设:⑵求F值19心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例2的计算(续)⑶判断结果:⑷作方差分析表:变异来源平方和自由度均方F值组间变异组内变异2850.44786.5319950.1251.93.77*总变异7636.92220心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第二节 完全随机设计的方差分析三、利用样本统计量进行方差分析21心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例3 为了考察三种教学方法的教学效果的优劣,从某校五年级中随机抽取三个班作为实验对象,经过一学年的实验,然后进行测验,其结果如下表,试对三班测验成绩单的平均数是否有显著差异进行方差分析.班 级人数平均数标准差甲乙丙52484575.280.584.54.23.34.5合计14522心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例3的计算解:23心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件 例3的计算6、编制方分析表：变异来源平方和SS自由度df方差MSF值F临界值（0.01)检验结果组间变异2117.8921058.944.75P<0.01组内变异2531.2514217.83总变异4649.1414424心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第三节 随机区组设计的方差分析 在完全随机化实验设计的方差分析中，我们把总变异分解为因素的变异（组间变异）和误差的变异（组内变异），而在误差变异中既含有偶然因素带来的变异，同时又有抽样误差（个体差异）造成的。

从而使误差变异增大，影响了F检验的精确度和灵敏度，为了弥补这个缺陷，常采用随机区组设计 随机区组设计是指在实验中将实验对象按一定的标准分成不同的区组，然后用随机的方式决定每个区组内的被试接受何种处理的设计方法随机区组设计在教育和心理实验中经常采用举例）25心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、随机化区组设计的方差分析 随机区组设计中每一区组内被试的人数分配有以下三种情况：①一个被试作为一个区组，所有被试都要分别接受各种实验处理②每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍③区组内的基本单元不是个别被试， 而是以一个团体为单元26心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、随机化区组设计的方差分析•随机区组设计，由于加入了“各区组内的被试水平尽量同质”这一控制条件，这相当于在原来的实验中又增加了一个新的因素“区组”，从而成为不考虑交互作用的双因素实验27心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、随机化区组设计的方差分析•自由度：•单因素随机区组设计进行F检验时，一般只对实验因素进行检验，对区组不加检验28心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件例4 把12名学生以优、良、中、差的学习程度分成4个区组，然后按照随机区组设计的方法进行三种不同教学方法的实验。

A1、A2、A3表示不同的教学方法，B1、B2、B3、B4表示4个不同的区组实验结果如下表所示试分析三种教学方法的效果差异是否显著A1A2A3X.jB138292693B227232171B323221964B418151346Xi.106897929心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件解：⑴建立假设:⑵计算F值:30心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件自由度:求方差:列方差分析概要表(略) 31心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件三、两种实验设计的比较完全随机实验设计随机区组实验设计优点分组简单，能控制因被试流失所造成的误差能提高实验的精确度；提供估计遗失数据的方法 缺点由于随机取样不能保证各组的真正等同，则实验误差不仅包括随机误差，还有样本间的误差分组较烦琐；实验结果处理较为复杂对实验处理数目有一定的限制，一般不多于832心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第三节 事后比较 方差分析中的F 检验是一种综合检验，它的结果只是总的说明各样本的平均数之间的差异是否显著但并未说明哪一对样本或哪几对样本之间的差异是否显著。

若F检验差异显著，则需要进一步分析哪些样本平均数之间的差异是显著的，哪些样本之间的差异是不显著的33心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件第三节 事后比较一、N—k法的检验步骤⒈特点：①功效大;②易于理解;③对于α的解释并不是以个别的检验而是用全部的保护水平为依据;④提供了一个(1-α)的保护水平⒉N—k法的步骤⑴把各组样本平均数自小到大作等级排序，得到比较等级⑵计算N—k的统计量，即公式：⑶判断结果：34心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、N—k法的应用例4中，通过方差分析知道三种教学方法的教学效果之间有显著差异则需进一步作平均数之间的比较解：⑴三种教学方法的等级排列:等级: 1 2 3平均数:比较等级: r 分别为：2、3⑵计算q值：35心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、N—k法的应用⑵计算q值:⑶判断结果:36心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、N—k法的应用(当水平数较多时)N—k法的步骤⑴把各组样本平均数自小到大作等级排序，得到比较等级r⑵根据 r 和dfw(或dfe)，查附表6，得出q的临界值。

⑶计算标准误SE：⑷计算 ，即得对应于某一个r值的两个平均数相比较的临界值从而与两个平均数之间的差异量进行比较，以判断两个平均数差异的显著性37心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、N—k法的应用(当水平数较多时，例1)解：⑴排序，计算等级：等级： 1 2 3 4平均数：比较等级 r 分别为：2、3、4⑵查q的临界值：38心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件二、N—k法的应用(当水平数较多时，例1)⑶求SE:(样本容量相等为n时)⑷计算SE×q:39心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件⑸判断结果49*511**7240心理与教育统计学(张厚粲版)ch9方差分析课件。