瑕积分性质与收敛判别.doc

《数学剖析》上册教课设计第十一章失常积分通化师范学院数学系§3瑕积分的性质与收敛鉴别教课目标：掌握瑕点,瑕积分的观点,会运用瑕积分的收敛鉴别法要点难点：要点与难点为瑕积分的收敛鉴别方法及其与无量积分收敛鉴别法的差别教课方法：讲练联合教课内容：例 1圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔．试问从盛满水开始翻开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间?从物理学知道，在不计摩擦力的情况下，当桶内水位高度为(hx)时，水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为v2g(hx),此中g为重力加快度．设在很小一段时间dc内，桶中液面降低的细小量为dx，它们之间应知足R2dxvr2dt，由此则有dtR2,[0,].22g(hdxxhrx)所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”：tfhR2dx．0r22g(hx)可是在这里因为被积函数是[0,h)上的无界函数，所以它确实切含义应当是tflimuR2dx0r22g(huhx)lim2R2(hhu)uhgr22h(R)2.gr一、瑕积分的定义定义2f定义在区间(a,b]上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间[u,b](a,b)上有界且可积．假如存在极限bJ，则称此极限为无界函数在上的limfxdxf(a,b]u()ua失常积分，记作bJaf(x)dx,第十一章第三节第1页《数学剖析》上册教课设计第十一章失常积分通化师范学院数学系并称失常积分bf(x)dx收敛．假如极限limbf(x)dxJ不存在，这时也说失常auaub积分af(x)dx发散．在定义2中，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而b无界函数失常积分f(x)dx又称为瑕积分．近似地，可定义瑕点为b时的瑕积分：ablimuf(x)dxf(x)dx.此中f在[a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但auba在任何[a,u][a,b)上可积.若f的瑕点c(a,b)，则定义瑕积分bcbulimbaf(x)dxf(x)dxf(x)dxlimf(x)dxf(x)dx.aaucavcv此中f在[a,c)(c,b]上有定义，在点c的任一邻域内无界，但在任何[a,u][a,c)和[v,b][c,b)上都可积．当且仅当右侧两个瑕积分都收敛时，左侧的瑕积分才是收敛的．又若a、b两点都是f的瑕点，而f在任何[u,v](a,b)上可积，这时定义瑕积分bcbcf(x)dxlimvf(x)dxaf(x)dxf(x)dxlimf(x)dx,acuauvbc此中c为(a,b)内任一实数．当且仅当(7)式右侧两个瑕积分都收敛时，左侧的瑕积分才是收敛的．例11dx的值瑕积分01x2解：被积函数f(x)1在[0,1)上连续，进而在任何[0,u][0,1)上可1x2积，x11dxudxlimarcsinu.为其瑕点．依定义2求得2lim201xu101xu12例2议论瑕积分1dx(q0)的收敛性．0xq解：被积函数在(0,1)上连续，x0为其瑕点．由于1dx{11(1u1q),q1q(0u1),uxqlnu,q1第十一章第三节第2页《数学剖析》上册教课设计第十一章失常积分通化师范学院数学系故当0

1)a(a,b)为任一常数．则瑕积分bf(x)dx与abf(x)dxf(x)dxf(x)dx,(2)aacb此中f(x)dx为定积分．c性质3设函数f的瑕点为xa，f在(a,b]的任一内闭区间[。