大学物理下：13-12波动2.ppt

——￿平面简谐行波的波函数波的表达式等价形式:￿讨论：在一根很长的细杆中传播着：在一根很长的细杆中传播着纵波纵波,某一时刻的波形曲某一时刻的波形曲线如图线如图, 试分析图中试分析图中A、、B、、C、、D、、.…各点哪些对应疏部，各点哪些对应疏部，哪些对应密部哪些对应密部 xBAECDFGHIxAECGIBDFH密部密部疏部疏部密部密部疏部疏部疏部疏部  =0的各点相对形变最大，对应疏部和密部的各点相对形变最大，对应疏部和密部；； 最大的各点相对形变为零，是疏部和密部的分界线最大的各点相对形变为零，是疏部和密部的分界线.波函数波函数分别对分别对 t 和和 x 求二阶偏导数求二阶偏导数得到得到一维波动方程*15-1-4￿￿波动方程§15-2￿￿波的速度￿能流受相临受相临质元质元的弹性力为的弹性力为 f 、、 f +df.质元的运动方程为：质元的运动方程为：取棒中任一小质元原长取棒中任一小质元原长dx，，质量为质量为 oxxdxSoxS  +d ff+df 以一维纵波为例*15-2-1￿￿波￿￿速一、波速oxxdxSox  +d ff+df由弹性模量的定义：由弹性模量的定义：代入运动方程得代入运动方程得结论：：任何物理量只要满足上述方程,则它一定按波的形式传播. .而且对时间偏导数系数的倒数是波速的平方。

机械波的传播速度完全取决于介质的机械波的传播速度完全取决于介质的弹性弹性性质性质和和惯性惯性性质性质. 即介质的即介质的弹性模量弹性模量和介质的和介质的密度密度,而而与振源无关与振源无关.描述弹性的物理量描述弹性的物理量—弹性模量弹性模量.1. 杨氏弹性模量Y S为棒横截面积为棒横截面积张应力张应力张应变张应变k为弹性系数或倔强系数为弹性系数或倔强系数.二、物体的弹性弹性势能：弹性势能：单位体积的弹性势能：单位体积的弹性势能：在弹性限度内应力与应变成正比在弹性限度内应力与应变成正比,比例系数称为比例系数称为材料的材料的弹性模量弹性模量.2. 切变弹性模量G 切应力切应力切应变切应变产生切变时，单位体积的弹性势能：产生切变时，单位体积的弹性势能：3. 容变弹性模量Bf 表示正压力表示正压力; S为受力面积为受力面积.胁强胁强 胁变胁变容变弹性模量定义为：容变弹性模量定义为：产生体应变时，单位体积的弹性势能：产生体应变时，单位体积的弹性势能：体应力体应力体应变体应变可以证明 T为绳索或弦线中张力为绳索或弦线中张力;为质量线密度为质量线密度.Y 为媒质的杨氏弹性模量为媒质的杨氏弹性模量;为质量密度为质量密度G为媒质的切变弹性模量为媒质的切变弹性模量;为质量密度为质量密度.在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些.1.对于柔软的绳索和弦线中对于柔软的绳索和弦线中横波波速横波波速为为2.细长的棒状媒质中细长的棒状媒质中纵波波速纵波波速为为3.各向同性均匀固体媒质各向同性均匀固体媒质横波波速横波波速B为媒质的体变弹性模量为媒质的体变弹性模量;为质量密度为质量密度为压缩系数为压缩系数4.在液体和气体只能传播在液体和气体只能传播纵波纵波 其波速为其波速为设棒中平面简谐波的波函数为设棒中平面简谐波的波函数为体积元 振动速度振动速度v：：研究的对象是什么?15-2-2￿￿波的能量与传播体积元原长体积元原长 x ; ;绝对伸长量绝对伸长量  相对形变相对形变( (协变协变) )由杨氏模量定义由杨氏模量定义:体积元的的相对形变 弹性势能为弹性势能为:而而完全相同体积元总机械能能量体密度讨论 1. 体积元的体积元的W , 同时达到最大值同时达到最大值,又同时达到最小值又同时达到最小值.B点点同时同时 B' 点点v 最大，最大，Wk 最大最大最大最大同时同时 最大，最大，曲线斜率BB'均随均随 t 作周期性变化作周期性变化,WkWp机械能不守恒!机械能守恒机械能守恒.2. 在简谐振动系统中在简谐振动系统中,系统的系统的Wk 、、Wp 相互转换相互转换 3. 波的波的能量密度￿ ￿ 普遍结论 ：机械波的能量与A2,  2 成正比.在在T 4内内从左侧质点接受能量从左侧质点接受能量B在平衡位置达到最大值在平衡位置达到最大值.在下一个在下一个T 4内内向右侧质点传递能量向右侧质点传递能量…….B点点能量流动能流密度 (波的强度)其中其中称为称为特性阻抗平均能流S15-2-3￿￿波的能流讨论：：1. 平面波在传播中振幅不变的物理意义平面波在传播中振幅不变的物理意义当介质对波的能量无吸收时当介质对波的能量无吸收时SS2.球面简谐波振幅衰减球面简谐波振幅衰减在介质无吸收的情况下在介质无吸收的情况下则则: :设设r =r0处处, 振幅为振幅为A0则任意则任意r 处处波函数为波函数为or1r2S1S2强度将衰减强度将衰减  称为介质的吸收系数称为介质的吸收系数平面波振幅衰减规律为平面波振幅衰减规律为 设波通过极薄的设波通过极薄的 (厚度为厚度为dx ) 一层介质后一层介质后*15-2-4￿￿声强级*15-2-5￿￿波的吸收朗伯定理朗伯定理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理: :在波的传播过程在波的传播过程中中, ,波阵面波阵面( (波前波前) )上的每一点上的每一点都可看作是发射都可看作是发射子波的波源子波的波源, ,在其后的任一时刻在其后的任一时刻, ,这些子波这些子波的包迹就成为新的波阵面的包迹就成为新的波阵面.穿过小孔的波与原耒波的形穿过小孔的波与原耒波的形状无关状无关,这说明小孔可以看这说明小孔可以看成是一个新的波源成是一个新的波源. §15-3￿￿惠更斯原理￿￿波的衍射15-3-1￿￿惠更斯原理15-3-2￿￿波的衍射用惠更斯原理确定下用惠更斯原理确定下一时刻球面波的波前一时刻球面波的波前. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .子波波源子波波源t+ t 时刻时刻的波面的波面t t时刻时刻的波面的波面.........用惠更斯原理解释衍射现象用惠更斯原理解释衍射现象障碍物障碍物障碍物后的障碍物后的阴影部分阴影部分平面波平面波平面波波面平面波波面障碍后障碍后的波面的波面障碍后障碍后的波线的波线缺口越小，衍射越显著MNB入射角等于反射角入射角等于反射角…… DCAA1A2一、反射定律一、反射定律二、折射定律二、折射定律15-3-3￿￿波的反射和折射声波的反射：￿消音室￿￿￿￿￿￿回音壁￿￿￿￿￿￿￿MNBCAD夜晚的声线声源声波的弯曲夏日正午的寂静夜半钟声到客船温度低温度低高声速小声速小大白天的声线声源静区静区总是要向温度低的方向弯曲￿声折射现象1、几列波相遇后、几列波相遇后,仍保持它们原有的特性仍保持它们原有的特性(频率、频率、波长、振幅、振动方向等波长、振幅、振动方向等)不变不变,并按照原耒的方并按照原耒的方向继续前进向继续前进,即各波互不干扰即各波互不干扰2、在相遇区域内、在相遇区域内,任一点的振动为几列波单任一点的振动为几列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和——独立传播原理.——波的叠加原理§15-4￿￿波的叠加原理￿￿干涉现象15-4-1￿￿波的叠加原理同频率不同振幅的两个波的叠加同频率不同振幅的两个波的叠加图示两列振动方向相同的同方向传播的波动的叠加图示两列振动方向相同的同方向传播的波动的叠加:频率比为频率比为2:12:1的两个等幅波的叠加的两个等幅波的叠加一个高频波和一个低频波的叠加一个高频波和一个低频波的叠加频率相近的两列等幅波的叠加频率相近的两列等幅波的叠加叠加原理在物理上的重要性还在于可将一列复杂的波分解为简谐波的组合15-4-2￿￿波￿的￿干￿涉波的干涉模拟演示图波的干涉模拟演示图波的干涉模拟演示图波的干涉模拟演示图相干波￿￿相干波源￿￿获得相干波源的方法干涉现象是波动形式所独具的重要特征干涉现象是波动形式所独具的重要特征干涉现象: 某些点振动始终加强.另一些点振动始终减弱,形成稳定的分布.干涉现象是两列波叠加的特殊现象 —￿相干叠加这两列波叠加后的这两列波叠加后的图像稳定, 不随时间而变化. .P点的合振动为点的合振动为S1r1S2r2P￿关于干涉加强、减弱条件的讨论:式中式中 重点！两列相干波在空间任一点所引起两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的相位差的两个振动的相位差是一个恒量,不随时间而变,只是空间位置的函数.￿空间任一点的合振幅 A 也是一个恒量.(1)合振动的振幅最大合振动的振幅最大, 称为称为相干加强相干加强(2) 合振动的振幅最小合振动的振幅最小, 称为称为相干减弱相干减弱( k=0,1,2,…..)时时(k=0,1,2,…)时时, ,讨 论相长干涉相消干涉(3)若若 代表从波源代表从波源S1和和S2发出的两列相干波到达发出的两列相干波到达空间空间P点时所经过的路程差点时所经过的路程差, 称为称为波程差.k= 0,1 ,2, …., ., A最大最大. .k= 0,1 ,2, …., ., A最小最小. .即对于两个同相位的相干波源即对于两个同相位的相干波源.此时上述条件变为此时上述条件变为:两列波叠加后的强度两列波叠加后的强度叠加后空间各点的强度重新分布叠加后空间各点的强度重新分布.若若I1=I2 , 则叠加后波的强度则叠加后波的强度当当   = ± 2k  时时, 在这些位置波强最大在这些位置波强最大, 当当   = ± (2k+1)  时时, 在这些位置波强最小在这些位置波强最小, I 2 4 6 -2 8 -4 -6 -8 0  Imax = 4I1 .Imin= 0  M、、N两点为同一介质的两相干两点为同一介质的两相干波源波源,其振幅皆为其振幅皆为A=5 cm, 频率皆为频率皆为100 Hz, 但当但当点点A为波峰时为波峰时,点点B适为波谷。

设波速为适为波谷设波速为10 m/s, (A、、B两波源的振动垂直于幕平面两波源的振动垂直于幕平面), 试写出由试写出由M、、N发出的两列波传到发出的两列波传到P点时干涉的结果点时干涉的结果例例: :如图所示如图所示,MNP20 m15 m解解解解:设设M的相位较的相位较N超前超前,则则则则P点的相位差应为点的相位差应为 P点因干涉而静止.MNP20 m15 m 平面任意点P'?P'例例: :位于位于A, ,B两点的两个波源两点的两个波源相向传播传播, ,振幅相振幅相等等, ,频率都是频率都是100Hz, ,相位差为相位差为 , ,若若A, ,B 相距相距30m, ,波速为波速为400m s. .求求: AB连线之间叠加连线之间叠加( 干涉）而静止的各点位置干涉）而静止的各点位置ABLx.PO解解解解: : 建立坐标建立坐标由干涉静止的条件由干涉静止的条件由干涉静止的条件由干涉静止的条件 (k是整数是整数)干涉静止点为干涉静止点为:例例 :如图所示如图所示,海边一发射天线海边一发射天线A,发射波长为发射波长为 的无线电的无线电波波.海轮上有一接收天线海轮上有一接收天线B, 两根天线都高出海平面两根天线都高出海平面H. 海海轮自远处接收发射天线所发射的无线电波轮自远处接收发射天线所发射的无线电波. 若将平静的若将平静的海平面看作反射面海平面看作反射面, 求当海轮从很远处向岸边驶近第一求当海轮从很远处向岸边驶近第一次接收到讯号极大值时次接收到讯号极大值时, 两根天线的距离两根天线的距离S.HABS解解解解: 海轮上天线海轮上天线B所接收的极大讯号是由海边所接收的极大讯号是由海边天线天线A直接射入的无线电波及由海平面反射的直接射入的无线电波及由海平面反射的无线电波干涉的结果。

无线电波干涉的结果 HABS两讯号到达两讯号到达B 点时的波程差点时的波程差S2S2o o当当  =  时时,出现第一个极大出现第一个极大注意到注意到O点产生的半波损失点产生的半波损失例例: :如图所示如图所示.气球正在匀速上升气球正在匀速上升.ll600kmddh=20km无线电接收机同时收到两个信号无线电接收机同时收到两个信号.发射频率为发射频率为100MHz, 接收机收到的接收机收到的合成信号强弱变化合成信号强弱变化 8次次/min.试计算气球上升的速度试计算气球上升的速度.解解解解:两信号相位差两信号相位差由题意由题意ll600kmddh=20km作业作业 P12615-10,16,17,18.15-1,2,4,5,6,夜间声音为什么会传得远呢？一种说法是：夜深人静了，背景噪音小了，人更夜间声音为什么会传得远呢？一种说法是：夜深人静了，背景噪音小了，人更易于分辨远处传来的声音这当然是一个因素，但它不是最主要的原因，这得易于分辨远处传来的声音这当然是一个因素，但它不是最主要的原因，这得从声音是怎样地传播说起从声音是怎样地传播说起 　　首先，声音是声源的振动扰动了空气，扰动以波的形式往出传。

设想声源　　首先，声音是声源的振动扰动了空气，扰动以波的形式往出传设想声源是地面上空的一个点，空气中的波是以它的密度不同往外传递，如果空气中各是地面上空的一个点，空气中的波是以它的密度不同往外传递，如果空气中各点的声速是相同的，由这个点传出的声波的波前是一个球面，声音传播的方向点的声速是相同的，由这个点传出的声波的波前是一个球面，声音传播的方向认为是和波前垂直的方向即半径的方向现在设声音在大气中不同高度传播速认为是和波前垂直的方向即半径的方向现在设声音在大气中不同高度传播速度不同，这时波前就不再保持球面，而发生畸变；相应的，声音传播方向也不度不同，这时波前就不再保持球面，而发生畸变；相应的，声音传播方向也不再是球半径的方向，而是拐了弯，这种声音传播道路拐弯的现象，也称为声折再是球半径的方向，而是拐了弯，这种声音传播道路拐弯的现象，也称为声折射现象白天同夜间，声音传播远近不同，就是由这个折射现象产生的白天同夜间，声音传播远近不同，就是由这个折射现象产生的 　　其次，在地面附近空气中，声速　　其次，在地面附近空气中，声速c（（m／／s）和温度）和温度t（（℃）的关系，可近似）的关系，可近似表为表为 　　　　c＝（＝（331.45＋＋0.61t℃））m/s 。