组合课件第一课时.ppt

组合组合 (1)(1)组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2个元个元素素, ,并成一组并成一组问题二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素, ,按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列排成一列. .问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（（m≤n））个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合. . 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？？ （一）、组合的定义（一）、组合的定义:? ?组合定义组合定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（（m≤n））个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合．．排列定义排列定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点: 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .概念讲解概念讲解思考一思考一:aB与与Ba是相同的排列是相同的排列 还还是相同的组合是相同的组合?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同两个相同的组合呢的组合呢? ?１）元素相同；１）元素相同；２）元素排列顺序相同２）元素排列顺序相同. .元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤而构造组合就是其中一个步骤. .思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)设集合设集合A={a,b,c,d,e}，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知已知4个元素个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) )概念理解概念理解 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（（m≤n）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.如如:从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是的所有组合个数是:如如:已知已知4个元素个元素a 、、b 、、 c 、、 d ,写出每次取出写出每次取出两个元素的所有组合个数是：两个元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解（二）、组合数（二）、组合数注意：注意： 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来．区别开来． 1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有四个元素中任取三个元素的所有组合组合abc ，， abd ，， acd ，，bcd .bcddcbacd练一练练一练组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行（三）、组合数公式（三）、组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系．排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，可以分为以下排列数，可以分为以下2步：步： 第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数个元素的组合数 ．． 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 ． 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 这里这里m,n是自然数，且是自然数，且 m n ，这个公式叫做，这个公式叫做组合组合组合组合数公式数公式数公式数公式．． 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式: :从从 n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数组合数的两个性质组合数的两个性质:证明证明: ①①公式特征：公式特征：下标相同而上标差下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同而上标与大的相同的一个组合数；的一个组合数； ②②此性质的作用：此性质的作用：恒等变形，简化运算；恒等变形，简化运算；③③等式体现等式体现：：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想. 例例1 1 计算：（计算：（1 1））和和（（2 2））和和例例2．计算：．计算： 解：解：原式＝原式＝  D 190 巩固练习巩固练习例例例．一个口袋内装有大小不同的．一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多个黑球，有多少种取法？少种取法？（（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球个球，使其中不含黑球，有多少种取法？，有多少种取法？ （（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多个球，共有多少种取法？少种取法？解解：（：（1））取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数例题讲解例题讲解例例1．一个口袋内装有大小不同的．一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多个黑球，有多少种取法？少种取法？（（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球个球，使其中不含黑球，有多少种取法？，有多少种取法？ （（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多个球，共有多少种取法？少种取法？解解：（：（1））取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数⑵⑵取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方法数例题讲解例题讲解例例．一个口袋内装有大小不同的．一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多个黑球，有多少种取法？（少种取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球个球，使其中不含黑球，有多少种取法？，有多少种取法？ （（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多个球，共有多少种取法？少种取法？解解：（：（3））按照黑球分类，按照黑球分类，②②取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数∴∴从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有取法个球，共有取法另法另法，一次取出的方法数，一次取出的方法数①①取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方法数 例例2 (1)2 (1)平面内有平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的个点为端点的线段共有多少条线段共有多少条? ?1010个不同元素中取个不同元素中取2 2个元素的个元素的组合数组合数. . 1010个不同元素中取个不同元素中取2 2个元素的个元素的排列数排列数. . (2) (2)平面内有平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的有向线个点为端点的有向线段共有多少条段共有多少条? ?　　 例例3 (1)3 (1)有有4 4本不同的书，一个人去借，有多少种不本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？同的借法？ (2) (2) 有有1313本不同的书，其中小说本不同的书，其中小说6 6本，散文本，散文4 4本，诗本，诗歌歌3 3本，某人借本，某人借6 6本，其中有本，其中有3 3本小说，本小说，2 2本散文，本散文，1 1本诗本诗歌，问有几种借法？歌，问有几种借法？(1)(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本（本）（本）(2)(2)解：分三个步骤完成，共有解：分三个步骤完成，共有（种）（种） 练习：在练习：在100100件产品中件产品中, ,有有9898件合格品件合格品,2,2件次品件次品. .从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件(1)(1)有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法? ?100100个不同元素中取个不同元素中取3 3个元素的组合数个元素的组合数(2)(2)抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? ?从从2 2件次品中抽出件次品中抽出1 1件次品的抽法有件次品的抽法有从从9898件合格品中抽出件合格品中抽出2 2件的抽法有件的抽法有 练习练习 在在100100件产品中件产品中, ,有有9898件合格品件合格品,2,2件次品件次品. .从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件减98件合格品中抽3件•1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？•(1)只有一名女生；•(2)两队长当选；•(3)至少有一名队长当选；•(4)至多有两名女生当选；•(5)既要有队长，又要有女生当选．•1．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有(　　)•A．120种　　　B．5种　　　•C．240种　　　D．180种组合、排列的综合问题•2．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例3 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。

故有：次测试是次品故有： 种可能练习：某学习小组有练习：某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生名男生和和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参人参加，则有不同参赛方法加，则有不同参赛方法______种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:①①主要学习了组合、组合数的概念主要学习了组合、组合数的概念②②利用组合和排列的关系得到了组合数公式利用组合和排列的关系得到了组合数公式n n个不同元素个不同元素m m个元素个元素m m个元素个元素的全排列的全排列第一步第一步组合组合第二步第二步排列排列课堂小结：课堂小结：组合中的分组问题•6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：•(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；•(2)分为三份，每份两本；•(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；•(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；•(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．• [思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．• [规律方法]　“分组”与“分配”问题的解法•(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益，要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的．•(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：•①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；•②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；•③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．•(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．•2．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？•(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；•(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．1．有．有3张参观券，要在张参观券，要在5人中确定人中确定3人去参观，人去参观，不同方法的种数是不同方法的种数是 10 2．．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？去几人自行决定，共有多少种不同的去法？解：解：有有6类办法，第类办法，第1类去类去1人，第人，第2类去类去2人，人，第第3类去类去3人，第人，第4类去类去4人，第人，第5类去类去5人，第人，第6类去类去6人，所以共有不同的去法人，所以共有不同的去法巩固练习巩固练习 例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:简单的组合问题 (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2) (2)如果在选出如果在选出1111名上场队员时名上场队员时, ,还要确定其中的守门员还要确定其中的守门员, ,那么那么教练员有多少种方式做这件事情教练员有多少种方式做这件事情? ?(1)(1)没有角色差异没有角色差异共有(2)(2)分两步完成这件事分两步完成这件事第第1 1步步, ,从从1717名学员中选出名学员中选出1111人上场人上场第第2 2步步, ,从上场的从上场的1111人中选人中选1 1名守门员名守门员1 1、、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．　(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法；　(2)如果一个人得一本，一个人得2本，一个人得　　 3本有多少种不同的分法； (3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种 不同分法．2 2、4名男生6名女生，一共9名实习生分配到高一的 四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女 实习生各1名的不同分配方案共有多少种？课后作业：小结小结2.组合数性质组合数性质:1.组合数公式组合数公式:例例 5个人站成一排个人站成一排⑴⑴共有多少种排法？共有多少种排法？ ⑵⑵其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？？ ⑶⑶其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？法？ ⑷⑷其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？？ ⑸⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？不同的排法？ ⑹⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？同的排法？ (7)(7)、、甲与乙中间必须排甲与乙中间必须排2名，有几种排法？名，有几种排法？例例 5个人站成一排个人站成一排⑸⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？不同的排法？解：解：⑸⑸ 甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余从其余3人中选人中选2人来站，有人来站，有 种排法，剩下的人有种排法，剩下的人有 种排法，共有种排法，共有 种排法种排法.(特殊位置预置法特殊位置预置法)(特殊元素预置法特殊元素预置法)(排除法排除法)例例 5个人站成一排个人站成一排⑹⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？同的排法？解：解：⑹⑹ 甲站排头有甲站排头有 种排法，乙站排尾有种排法，乙站排尾有 种排法，但两种情况都包含了种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙甲站排头，乙站排尾站排尾”的情况，有的情况，有 种排法，种排法，所以共有所以共有 种排法种排法.用直接法，如何分类？用直接法，如何分类？一类：甲站排尾一类：甲站排尾二类：甲站中间二类：甲站中间所以共有所以共有 种排法种排法.(7)(7)、、甲与乙中间必须排甲与乙中间必须排2名，有几种排法？名，有几种排法？例例 5个人站成一排个人站成一排组合数的两个性质：组合数的两个性质：性质性质1 1：：性质性质2 2：：例例3 3 计算：（计算：（1 1））和和（（2 2））和和（（3 3））（（4 4））（（5 5））解解: :原式原式= =(4)(4)原式原式或或, , 原式原式 (5)(5)原式原式 例例1 1．平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，．平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？解法二：（间接法）不考虑五点共线，有解法二：（间接法）不考虑五点共线，有其中共线的五个点可连其中共线的五个点可连条，条，条条而这而这条只能是一条条只能是一条共可连共可连（条）（条） 说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线．一条直线．组合、排列的综合问题•现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：•(1)共有几种放法？•(2)恰有1个空盒，有几种放法？•(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？• [思路点拨]　　此题关键是(2)，恰有1个空盒相当于一定有2个小球放在同一个盒子中，因此，先从4个不同的小球中取出2个放在一起(作为一个整体)，是组合问题．又因为4个盒子中只有1个是空的，所以另外3个盒子中分别放入2个，1个，1个小球，是排列问题．　•[规律方法]　1.解排列组合的综合问题，首先要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序．•2．解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．。