复变函数与积分变换第一章.ppt

《复变函数与积分变换》Complex Analysis and Integral Transforms,朱传喜等编江西高校出版社南昌大学数学系　曹红哲E-mail:hongzhecao@,复数的诞生,先从二次方程谈起:　公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当　　　　　　　　　时无解，当　　　　　　　　　时有解．,二千多年没有进展：寻找三次方程,的一般根式解．,G. Cardano (1501-1576) : ＂怪才＂，精通数学，医学，语言学，文学，占星学．他发现,没有根，形式地表为,,L.Euler(1707-1783): 瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明．,1748年：Euler公式,C.Wessel (挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示．,K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展．,R. Descartes(笛卡儿): 1596-1650, 法国哲学家，坐标几何的创始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginary number).,1777年：首次使用"i"表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学 ．,一般, 任意两个复数不能比较大小。

复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part),,,判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律与实数相同）即，,,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,,(conjugate),,2. 向量表示法,,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时),辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，,z=0时，辐角不确定。

当z落于一,四象限时，不变当z落于第二象限时，加 当z落于第三象限时，减 由向量表示法知,3. 三角表示法,4. 指数表示法,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,[解],1),z在第三象限, 因此,因此,2) 显然, r = | z | = 1, 又,因此,练习：,写出 的辐角和它的指数形式解：,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.,例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解] 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,因此, 它的复数形式的参数方程为,z=z1+t(z2-z1). (-

O,x,y,-2,2i,y=-x,设 z = x + i y , 那末,可得所求曲线的方程为 y = -3 .,,,,O,y,x,y=-3,注: 这里A是复数,B是实数.,扩充复数域---引进一个“新”的数∞:,扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞.,约定:,,注: 若无特殊说明,平面均指有限复平面.,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2),1. 乘积与商,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,§1.3 复数的乘幂与方根,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。

定理1可推广到n 个复数的乘积定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差证明, Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）,设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ2.复数的乘幂,定义,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的 复数ω3.复数的方根,（开方）——乘方的逆运算,,当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点1. 区域的概念,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。

记为Ｕ(z0 ,δ) 即，,,设G是一平面上点集,§ 1.4 复平面上的点集,连通是指,,D-区域,,,2. 简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ;则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b,,3. 单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如 |z|0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的单连通域,,,,,,多连通域,,,,,,多连通域,单连通域,1. 复变函数的定义,—与实变函数定义相类似,,§1.5 复变函数,,例1,例2,在几何上， w=f(z)可以看作：,,,定义域,,函数值集合,2. 映射的概念,——复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,—关于实轴对称的一个映射,见图1-1~1-2,,例4,解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,图1-1,图1-2,图2,,,,,例5,3. 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,∴为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,例 已知映射w= z3 ，求区域 0

例,1. 函数的极限,几何意义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中,§1.6 复变函数的极限和连续性,(1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.,(2) A是复数.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数； 连续函数的模也连续有界性：,。