9.2 标准正交基.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,9.2,标准正交基,2,标准正交基,3,同构,4,正交变换,1,定义与基本性质,6,对称矩阵的标准形,8,酉空间介绍,7,向量到子空间的,距离最小二乘法,小结与习题,第九章 欧氏空间,5,子空间,一、,正交向量组,9.2,标准正交基,二、标准正交基,三、正交矩阵,设,为欧氏空间，非零向量,若 则 是正交向量组,.,正交向量组必是线性无关向量组,.,一、,正交向量组,定义：,如果它们两两正交，则称之为,正交向量组,.,注：,证：设非零向量 两两正交,.,令,则,由 知,故线性无关,.,维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,例如：中,线性无关,但不是正交向量组,.,1.,几何空间 中的情况,在直角坐标系下,是由单位向量构成的正交向量组，即,二、标准,正交基,是 的一组基,.,设,从,得,即在基 下，中的与内积有关的度量性质有,简单的表达形式,.,维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组,称为,正交基,；,2.,标准正交基的定义,由单位向量构成的正交基称为,标准正交基,.,注：,由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准,正交基,.,维欧氏空间,V,中的一组基,为标准正交基,维欧氏空间,V,中的一组基 为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,(1),维欧氏空间,V,中标准正交基的作用,:,设 为,V,的一组标准正交基，则,(i),设,由,(1),，,(ii),(3),这里,(iii),有,(2),(,定理,1,),维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基,.,证：设 欧氏空间,中的正交向量组，,对作数学归纳法,当 时,3.,标准正交基的构造,施密特,(Schmidt),正交化过程,就是一组正交基了,.,1,）,使,假设 时结论成立，即此时可找到向量,成为一组正交基,.,现在来看 的情形,.,所以必有向量 不能被 线性表出，,因为,作向量,待定,从正交向量组的性质知,于是取,即 为正交向量组,由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组,可得,可扩充得正交基,.,于是定理得证,2,）,都可找到一组标准正交基 使,证：,基本方法,逐个构成出满足要求的,(,定理,2,),对于 维欧氏空间中任一组基,首先，可取,一般地，假定已求出 是单位正交的，且,(4),当 时，因为有,由,(4),知 不能被 线性表出,按定理,1,证明中的方法，作向量,(5),即,再设,可知 是单位正交向量组,从,(4),和,(5),知 与,是等价向量组，,因此，有,由归纳原理，定理,2,得证,.,则且,则过渡矩阵是上三角形（即 ）,注：,且,由,知，若,Schmidt,正交化过程,:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,例,1,.,把,变成单位正交的向量组,.,解：令,正交化,再单位化,即为所求,例,2,.,在 中定义内积为,求 的一组标准正交基,(,由基 出发作正交化,),解,:,取,正交化,单位化,于是得 的标准正交基,设 与 是 维欧氏空间,V,中的,两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,即,4.,标准正交基间的基变换,或,由于是标准正交基，所以,（,6,）,由公式（,3,），有,（,7,）,把,A,按列分块为,由（,7,）有,（,8,）,则称,A,为,正交矩阵,.,2,）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交,矩阵,.,三、,正交矩阵,1,定义,设,若满足,2,简单性质,1,）,A,为正交矩阵,3,）设 是标准正交基，,A,为正交矩阵，若,则,也是标准正交基,.,4,）为正交矩阵,A,的列向量组是欧氏空间 的标准正交基,.,6,）为正交矩阵,A,的行向量组是欧氏空间 的标准正交基,.,5,）为正交矩阵,练习：,。