小行星的轨道模型.docx

小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为.问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长.根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:所以,椭圆长半轴:;椭圆短半轴: ;椭圆半焦矩:.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵使用计算机可求得从而的特征值于是,椭圆长半轴,短半轴,半焦距.小行星近日点距和远日点距为最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.。