导数中利用切线放缩进行找点的基本策略.docx
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一．利用切线放缩进行导数找点的基本公式 在导数问题中，我们有两个常见的切线放缩，即G）当 x > 0 时，In x < x -1,（2）当 x e R 时，ex > x +1利用这两个不等式及其变形，基本上能处理绝大多数问题，但为方便起见，我们可以舍掉部分元素进一步放缩，如Inx < x , ex > x ,也可以利用丫 , ex I e 丿 或空^ <丄C> 0）放缩的方式有千万种，我们选取一个合适的就够了，以下放 xa ea缩均基于In x < x， ex > x之上做一些简单的代换，其中a均为正数，Gin xa < xa = in x < — xa ，此式的作用是将in x变大，当x T+8时使用；a（2 ） in < 丄= —a in ，此式的作用是将in x变小；xa xa xa a xa如当a二1时，inx >一丄，a二2 ， — x2 > inx图象如图所示：x22SW = InW咖=ln(4f)G) e:〉(x > 0)n ex > aa，如当a = 2时,1ex > x2此公式可以实现当xax T+8时，将ex缩小成幂函数一 匕丿（4）e-： >-三e - x >a丿a\a(2 ¥ex < ——V x 丿x2aa 此公式可以实现当x TY时，将ex放大成幂函数-aV x 丿通过简单的代换，我们得到一些有用的放缩，并得到其主要使用范围（想一想，为什么），其中a可根据题目取值，其中几个常用到的放缩：G）当 x n+8 时，将 ln x 放大，ln xa < xa ，所以 ln x <1xa，a当a二1时,In x < x，当 a 二 2 时，ln x < x 2，当 a = 1 时,22（2 ）当x n 0 +时，将ln x缩小,丫 1 \a ln -Vx丿"1 ¥< —Vx丿所以(-a )ln x <, 1 ( 1 )aln x > - 一 — a V x丿当a = 1 时，lnx >-—，当a = 2 时，lnx > - 丄亠亠 (x \a，所以ex > —Va 丿x 2 x 2（3）当 x n+8 时，将ex缩小，当x > 0时,当 a = 1 时， ex > x ；当 a = 2 时， 当 a=1 时，ex > J2x；4 2（4）当xn-g时，将ex放大，当x < 0时,(x \a所以e—x > -兰V a 丿ex < —一 ，当 a= 1 时, I x丿ex <—丄；当c二2时,x(2 ¥ ex < ——I x丿x2除此之外，如果我们能够限定变量x的范围，就能将其中的某些项放缩成具 体的常数，比如当x < 0时，有0 < ex < 1，再者，当所给的函数表达式比较复杂 时，我们也可以将其分成多个部分，分别进行处理。
找点不好找，本质上就是不等式不好解，但由于这样的点有无穷多个，我 们只需找到其中部分，所以我们适当的退一步，放缩一下，将不好解的不等式 转化为好解的不等式但要注意的是，找点实际上是对函数阶的考量，所以放缩不能改变函数整 体的相对变化趋势(极限)，具体该如何放缩，还得取决于函数表达式的结构 下面先看几个具体的例子二．几个简单例子题 1：已知 a > 0， f (x)= ex 一 ax，是否存在 x > 0，使得 f (x)> 0分析：由于参数a的不确定性，如果直接利用ex进行放缩，则 f (x ) 二 ex — ax > x — ax 二 x(1 -a)，则x(1 — a)与0的大小关系不确定，无法解 x(1 — a)> 0，(当1 — a > 0时，x > 0，当1 — a < 0时，x < 0，与题意不相符合)思路：当x n+x时，f (x)n +x因此可将f(x)变小，让较小的数据大于0就够了利用当x n +x时，ec > —， cex >令 c = 2，则 ex > 土 x2，则 f (x)=极限没有改变ex — ax > x2 — ax = x(x — 4a)> 0，所以 x < 0,4 4或者 x > 4a ，所以存在 x = 4a > 0 满足 f (4a) = e4a —4a2 > 1(4a》 — 4a2 = 0 ，符合 题意。
另解：利用当xn+x时，ea> —， cex >=3，贝V ex > 丄 x327f 3 3a 丿> 0ex — ax > x3 — ax > 0，所以 x3 — 27ax > 0,x > 0,.，. x > 3f3a，所以注释：利用不等式进行放缩时，要保证函数的极限不能改变，如x n+x时, f(x) =ex 一 ax n +x，当 x n +x 时，检验：f \\2a'= e3'3a -3\3aa > 3、：'3a人—3^3aa = 3^3aa-3、：3aa = 0 ,27所以f (莎)> 0注释：只要保证放缩后x的指数比1大，都可以放缩成功分析：因为当x > 0时,1ex > x2,4题 2：已知 a > 0， b e R， f (x)= ex — ax — b，是否存在 x > 0，使得 f (x)> 0f (x)= ex - ax - b > x2 - ax - b > 0,4这个不等式不难解，但需要分类讨论，有点麻烦，10当AW 0时,4x2-ax-b> 0恒成立，对Vx > 0,都符合f (x)> 0a 土品二 2a 土 2 広，设 x1 = 2 a — 2A ,则 f(x0)> 0⑵当 A> 0 时，由 4 x 2 — ax — b = 0，得 x = 12x 2 = 2 a + 2"，x2 — xi = % A> 0，取 x0 = 1 + x2.再析：对f(x)>4x2―ax―b再继续放缩，f(x)>4x2―ax―b>4x2―ax-H>o,1 , i A = a2 + |b| > 0 解一x2 — ax-|b| > 0 得 x < 2a — 2^. a2 + |b| 或 x > 2a + 2^ a2 + |b|( )则 f 2a + 2“2 + |b| > 0，取点 2a + 2、：a2 + |b| 即符合题意。
题 3：已知 a >0， b,ceR , f(x) =ex -ax2 -bx-c， 是否存在 x >0，使得f(x)> 0分析：当x 3+8时，f On+3，所以能找到符合条件的x利用ex进行放缩时，要保证当x 3+8时f G)n +8，因为ea > —，所以ex >a令a = 3，可得:ex > x 3，所以 f (x )= ex — ax 2 — bx — c > x 3 — ax 2 — bx — c > 0,27 27得到的三次不等式同样不还解，这时候我们可以再放缩调整一下，反正“点”很 多，主要目的还是为了不等式好解利用 f (x)1> x 3 — ax 2 — bx — c >27(1—x 3 — ax 2154-lblx丿(1+ — x 3154、-Cl丿满足<54 x 3 - c > 054 解得，<—x3 - ax2 - |b|x > 0 I27x > 2〔x >』54f 27 ( i取 x = max <——a + Ja 2 +丨2 V27 b "54，即有f (x)> 0，虽说取的点的形式难看了点，但总归是很轻易的算出来了，想好看一点，自己可以重新调整一下系数 如可取x = max 20 a +、. a2 + 20b| ,3： 100上面三道题，函数的解析式逐渐复杂，除了利用ea > -放缩外，还要学习利a用b > b , b > -b, - b| < -b , - b| < b，可以处理当判别式A情况不确定时调整系数，避免讨论的方法。
题 4：已知 a > 0, f (x)= xex 一 a，是否存在 x > 0，使 f (x)> 0分析：直接解f (x )= xex 一 a > 0， xex > a，因为 x > 0， In x + x > In a，不易得至U解集，但问题是我们不需要解集，我们只需要找到符合条件的点就够了，这样问 题就简单了，因为当x > 0时，ex > 1，所以f(x)= xex - a > x - a > 0 ，所以 x > a ，所以f(a)= aea 一 a > a 一 a = 0，故 f (a)> 0另解：当x > 0时，ex > x，所以f (x)= xex 一 a > x 2 一 a > 0，所以 x > Ja ,所以 fa -a >、.：a2 -a = 0，所以 f ( a)> 0题 5：已知 a > 0, f (x) = xe x + a ， 是否存在 x v —1， 使 f(x)> 0分析：当 x n -g 时，xex = n 0-， 所以f (x)n a，所以从图像上分析是能找e-x到符合条件的点当xn-g时，e-a >- — > 0，所以e-x >a1，—>exex <当 a = 1 时，ex < ——，" xCx < 0)，当a = 2时，ex — (x < 0)，利用此式可将ex x2放大。
要找f (x)> 0，可将f (x)变小，使较小的值大于0即可，若用ex
题 7：已知 a > 0, f (x)= (x一 1)ex 一 ax 一 1，是否存在x > 1，使得 f(x)> 0 分析：当x n+a时，f (x)n +a，当x > 1时，可以利用ex > x进行放缩，当 x > 1 时，f (x )= (x 一 1)ex - ax -1 > (x — 1)x — ax — 1>—ax — x=x2 —(a + 2)x > 0，所以 x n a + 2，。
