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第四章 解的存在性与连续性4.1 4.1 连续性的概念连续性的概念4.1.2 4.1.2 对应的连续性对应的连续性下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容集值集值映射映射集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究需求与供给问题与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系事实上，多值函数就是集值映射的一种形式带歧视的价值函数就是一种集值映射消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本身也可以看成是一种集值映射现实经济生活中，集值映射也是多见的比如，消费选择消费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个都行这样，这件东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中之一这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性又如，抛物线 y ² = 4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是集值映射： 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多这里，我们只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。

(一) 集值映射的概念定义定义 设 E 和F 是两个集合如果对 E 中每个元素x，都有F 的子集 (x) 与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set-valued map)，简称集映，记作  : E F 如果集映  : E F 满足条件：(xE )( (x)  )，则称 : E  F 为对应(correspondence)x (x) : E  FEF 补例补例1( (预算对应预算对应) ) 集合 E, F 如下: E = {( p1, p2, r): ( p10)( p2 0)(r0)} F = {( x1, x2): (x10)(x2 0)} 对任何 ( p1, p2, r)E，与之对应的F 的子集为 ( p1, p2, r) = {(x1, x2)F : ( p1 x1 + p2 x2  r)}则这一对应关系就是一个集值映射，并且是对应我们可把 ( p1, p2)看成价格向量，把 r 看成收入，则集合  ( p1, p2, r)就是支付不超过收入的消费方案的全体——预算集合，因而通常把  : E F 称为预算对应。

 ( p1, p2, r) 补例补例2( (集族集族) ) 通常的集族就是集映比如，集族{Zt}tT 实际上是集映 Z: T F，其中 F =  Zt，Z(t) = Zt(对一切 tT )tTx1x21.看作多值映射 通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个，甚至无限多个 补例补例3. 带人员歧视的价值函数带人员歧视的价值函数 用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映射 v : R+ R+ 是一种带有人员歧视的价值函数：v(x) = {x, exp(x) 1, ln(1+ x)} ( x  0)这是一个多值函数 补例补例4. 反三角函数反三角函数 经常使用的各种反三角函数都是多值函数，它们就是集值映射比如，反正玄函数 Arcsin(x) 是从闭区间 [1, 1] 到实数直线 R 的集值映射，即Arcsin : [1,1]R, 其中 Arcsin(x) = {2k +arcsin(x): k = 0, 1, 2, }{(2k+1) arcsin(x): k = 0, 1, 2,}。

vxxv(x)xexp(x)1ln(1+ x)xxyArcsin(x) 补例补例5. 经济系统集映经济系统集映 社会经济系统本身就是一个集值映射 : AR，其中 A代表经济人的全体，R 是商品空间， (a)代表经济人 a 的选择集合(商品空间的子集)经济制度及法律法规都能通过集映 : AR 得以体现2.看作单值映射 也可把集值映射 : EF 看成是一种单值映射 : EP(F )，其中P(F )是 F 的幂集(power set)，即由集合 F 的一切子集所构成的集合这种看法的好处在于, 与 x 对应的元素 (x)被作为一个整体来看待，而不再像多值映射那样把 (x)看成是对应于x的多个元素 当把集值映射看成是单值映射时, 集值映射 : EF 实际上代表着一个集族{ (x)}xE，也就是说，集映  : EF 与集族{ (x)}xE是同一回事FE (x)x 把集值映射看成单值映射的又一个好处在于, 当E和F为拓扑空间时, 我们可以给幂集合P(F )赋予适当的拓扑结构，从而可以像单值映射那样来研究集映。

 都是本质集映, 例4是非本质集映对于本质性集映，采用如下的集合论观点看待，将会给分析带来方便3.看作乘积集合的子集G( )x (x)FE集映的图像集映的图像 集映  : E F 可看作是积集合 EF 的子集G( ) = {(x, y)EF : y (x)} 集合G( )叫做  : EF 的图像不同集映的图像是不同的，集映与它的图像之间一一对应，因而可把集映与其图像等同看待 这样, 单值映射 f 与集值映射 表达了相同的对应关系可见，我们更应该关心本质性集值映射 : E F：存在x, yE使得 x  y且 (x) ( y)  前面的例1,3,5 集值映射可以区分为本质性和非本质性两类所谓非本质集映 : E F，是指  (x) (xE)互不相交，即对任何x, yE，只要xy，就有 (x) ( y) = 事实上，如果 : E F 是非本质集映, 那么 必然是某个单值映射 f :FE 的逆映射：(zF )((x = f ( z))( z (x))) (x) ( y)xyEF非本质集映非本质集映(二) 各种类型的集映 E 的子集 K 在集映  : E  F 下的像集是指集合  [K ]：  [K ] =   (x) = { yF : (xK )( y (x))}1. 开集映：设 E与F 都是拓扑空间。

如果集映  : E  F 的图像G( )是积空间 EF 的开子集，则称 : E  F 为开集映2. 闭集映：设 E与F 都是拓扑空间如果集映  : E  F 的图像G( )是积空间 EF 的闭子集，则称  : E  F 为闭集映3. 开集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间如果对任何xE，  (x)都是 F 的开子集，则称  : E  F 为开集值集映4. 闭集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间如果对任何xE，  (x)都是 F 的闭子集，则称  : E  F 为闭集值集映5. 紧集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间如果对任何xE，  (x)都是 F 的紧子集，则称  : E  F 为紧集值集映6. 凸集值集映：设 E 为任一集合，F 为向量空间如果对任何xE，  (x)都是 F 的凸子集，则称  : E  F 为凸集值集映xK教材上相关表述为教材上相关表述为：(三) 集映的连续性设 E和F 都是拓扑空间， : E  F， xE1）） 上半连续性上半连续性  在点 x 处上半连续是指：对于F 中 任何包含  (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得  [U ]V 。

如果 在 E 中的任何点处都是上半连 续的，则称 是上半连续的集映2）） 下半连续性下半连续性  在点 x 处下半连续是指：对于F 中 任何与 (x)相交的开集V ，都存在 x 的邻 域 U 使得 (zU )( (z)V  ) 如果 在 E 中的任何点处都是下半连 续的，则称 是下半连续的集映EF (x)UV上半连续下半连续xFEU (x)xV（（3）） 连续性连续性  在点 x 处连续是指 在点 x 处既上半连续，又下半连续如果 在 E 中的任何点处都是连续的，则称 是连续集映VUU集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广  的上半连续性是说 (x)不会突然膨胀——框得住；  的下半连续性是说 (x)不会陡然收缩——粘得住 1.集映连续性的意义V (x) (x)xx粘不住框不住在在 x 处上半连续，但不下半连续处上半连续，但不下半连续在在 x 处下半连续，但不上半连续处下半连续，但不上半连续 定理定理 设 : E  F，xE，E  R ，F  R ，m 和 n 都为自然数。

1)如果 是闭集值集映且 [E ] 是有界的，则 上半连续当且仅当当且仅当  是闭集映2)若 (x) 是闭集且存在 x 的邻域U 使得 [U ] 有界，则 在 x 处上半连续当且仅当当且仅当对任何 yF 以及任何序列 xkE 和 yk (xk) ( k = 1,2,)，当 xk  x ( k ) 且 yk  y ( k ) 时，y  (x)3)  在 x 处下半连续当且仅当当且仅当对任何 y  (x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列xk ( k = 1,2,)，存在F 中收敛于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使得 yk (xk) ( k = 1,2,)4)如果 是闭集值的闭集映且存在 x 的邻域U 使得 [U ] 有界，则  在 x 处上半连续2.集映连续性的判别nm本定理为研究集值映射提供了极大的便利其中的结论(4)直接从(1)得到，它比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)分别是集值映射的上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的补例补例6 6 移动通讯需求移动通讯需求 信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中国，的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯业的竞争也迅速展开。

我们来分析一下移动通讯市场的需求情况 假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同 p1：公司A的话费(元/分种) p2：公司B的话费(元/分种) x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟) x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟) r：消费者准备用于支付话费的收入 这样，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示着消费者的通话选择：使用网络A通话 x1分钟，使用网络B通话 x2分钟这样，消费者的消费集合便为 (1) (1) 偏好关系的确定偏好关系的确定 既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的因此，消费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的： (x, yX)( ((x1, x2)  ( y1, y2))  (x1+x2  y1+y2) )即消费者认为，移动通话的总时间越多越好这样，无差异曲线为直线：x1 + x2 = U (0  U < ) 通话向量 x = (x1, x2) 的话费为： px = p1x1 + p2 x2 预算集合为： ( p, r) = {xX : px  r} 下面来找出 ( p, r)中所有最好的通话向量，即确定移动通讯需求 D( p, r)。

为此，对任何( p, r)，可按照 p1 > p2、p1 < p2、p1 = p2 三种情形分别讨论x1x2o ( p, r)无无差差异异曲曲线线(2) (2) 移动通讯需求的确定移动通讯需求的确定我们通过图示来直观地说明移动通讯需求的确定可见，在两家公司提供的服务相同的情况下，话费价格低的公司完全占领市场小灵通公司正是看到了这一特点，在2002年果断采取降价策略，在中国移动通讯市场上一举获得成功r/p2x1r/p1px = rD( p, r)(1) p1> p2的情形(2) p1< p2的情形(3) p1= p2的情形通话时间通话时间越多越好越多越好 ( p, r) ( p, r)通话时间通话时间越多越好越多越好通话时间通话时间越多越好越多越好D( p, r)D( p, r)x1x1x2x2x2r/p2r/p2r/p1r/p1ooo ( p, r)r/p2 为此，任意给定收入r > 0和价格 ，选一个开球V使得 则对包含 p的任何开集U以及U中这样的点 p = ( p1, p2)：p1 p2，都有D( p, r)V = 。

故D( p, r)在( p, r)处不是下半连续的3) (3) 移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性 移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此移动通讯需求集映 D( p, r)是上半连续的但它不是下半连续的，这一事实的证明思路是去证明在 p1 = p2 > 0 的地方D( p, r)不下半连续x1x2ooVpp1 > p2D( p, r)wD(w, r)w1 < w2D( p, r)V = =V D(w, r)价格价格空间空间消费消费集合集合4.2 4.2 解的性质解的性质4.2.1 4.2.1 解的存在性解的存在性例例4.5--4.5--例例4.94.9见教材见教材P80P80——P81(P81(请课外自己验证请课外自己验证））4.2.3 4.2.3 解的凹凸性解的凹凸性最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用最大值定理不仅能判断最优化问题有解的条件，而且能够用。