数学归纳法的理论依据.doc

1数学归纳法的理论依据——数学教学改革实验与理解能力培养我们在中学教数学归纳法时，经常碰到一些勤于思考的学生提出：“数学归纳法的理论依据是什么？”这个问题在《高等代数》中早有论述，但中学生一般还很难看懂为了保护学生们的好奇心、求知欲望和探索精神，提高与发展学生的领会理解能力，我们以数学课外活动的方式，开设“数学专题讲座” ，给这个问题作出深入浅出的回答一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理1962 年我国著名数学家华罗庚教授在一次讲话中说：“简单朴素的数的性质，成为数学概念和方法的一个重要源泉 ”数学归纳是用来证明某些与自然数 n 有关的数学命题 P（n）的重要方法它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关1889 年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数集的公理体系，揭示出自然数集 N 的基本性质这五条公理是（1）1 属于自然数集 N，即 ；（2）若 ，则有且仅有一个自然数紧跟在 a 后面，记为 a+1；（3）若 a 属于自然数集 N，即 ，则 ；（4）设 ， ，当 x+1=y+1 时，x=y；（5）若 M 是 N 的一个子集，具有下面两个性质：1） ；2）若 ，有 ，则 M=N依皮亚诺公理，有 ，1+1 记为 2，则 2 ，2+1 记为 3，则，3+1 记为，则 4 ，则依此递推，便得自然数集。

2事实上，我们数自然数时，第一个数便是 1，这就是公理 1公理 2 说明，任何自然数 a 都有唯一确定的后继数 a+1公理 3 说明，1 是自然数中唯一不是后继数的数；1 是自然数集 N 中的最小数公理 4 说明，除 1 以外，每个自然数都是一个唯一确定的自然数的后继数公理 5 说明，从 1 开始，一直数下去，以至无穷，便得到所有的自然数这个公理 5，又称为归纳公理，它就是数学归纳法最原始的理论依据二、最小数原理与数学归纳法原理依皮亚诺公理，自然数集 N 有最小数 1这个性质加以推广，便得 “最小数原理” 定理一、自然数集的任意非空子集必有一个最小数证明：设 A 是自然数集的任意非空子集在 A 中任意取出一个数 m依皮亚诺公理，从 1 到 m 共有 m 个自然数，则 A 中不超过 m 的数最多有 m 个因为这是有限个数，则其中必有一个最小数 KK 对于 A 中不超过 m 的数来说最小而 A 中其余的数都比 m 大，因而更比 K 大，所以，K 就是 A 中的最小数例 1、用“最小数原理”证明证明：假设至少存在一个自然数 m，使得上述等式 P（m）不成立令 S表示所有使等式 P（m ）不成立的那些自然数 m 的集合。

因为当 n=1 时，等式 P（ 1）显然成立，则 ，所以，S 是 N 的一个真子集又由假设得，S 是非空的依最小数原理，S 中必有一个最小数 K，使得 P（K）不成立且 K>1因为 K-1K+1 成立，两边同时加上 1，得 K+1>K+2 也成立但不能断定“任何自然数都大于它的后继数” 因为它缺乏递推的基础，论断的真实性不一定可靠事实上，当 K=1 时，1>1+1 显然不成立注：本文原为我在新化二中，以数学 课外活动方式， 举办“数学 专题讲座”的讲稿，发表于湖北《中学数学》1984 年第 10 期后来，我又在《中学数学》等刊物中相继发表几篇关于数学归纳法的论文，发展成《数学 归纳法浅析》书稿，共 15 万字，由湖南数学会常务副理事长、湖南教育学院院长欧阳录 教授作序，以待出版本文是 该书稿的第二章。