浙江高考自主命题七年向量试题分析与教学建议.doc

浙江高考自主命题七年中《平面向量》试题赏析与启示浙江省富阳二中 马华明浙江省高考自主命题已进行了七年，这七年的试卷里命题组编制了许多新颖独特的试 题，其中的新增内容《平面向量》试题更是新颖独特.背景深刻.构思巧妙，笔者每年做 完这个题目时都有一种意犹未尽、爱不释手的心情下面笔者将它们整理出来与各地同仁 赏析后，再提一点教学启示以期抛砖引玉一、试题赏析1. （04 年理 14）己知平面上三点 4、B、C满足\AB\=3y |BC|=4, I | CA |= 5 ,图1则ABBC^BCCA^CA・AB的值等于・25 .解：・.・| AB\2 -^\BC |2=| CA |2, :. ZB = 90°・・・原式=0 +石•反 +荷）=顶•入0 = —25几何背景：直角三角形(文14)已知平面上三点A、B、C、满足| AB\= 2,|BC|=1,|C4|=V3，则・BC + BC・C4 +C4・AB的值等于.2. (05年理10)已知向量匝| e |= 1,对任意rWR,恒有|莎一毎|辺匝一0 |, 则(C )(A) Q 丄 0 (B) Q 丄(d-e) (C) 0 丄(a-e) (D)(a+e)丄 @一0)解一(代数法)：由\a-te ^\d-e\恒成立得到，厂一 2/(0・0)+2Q・0 — 1 2 0恒成立，所以 A = （-2a -e）2 - 4（2a • e -1） < 0 ,推出d • e = 1 = e ・0=> （方— 0）・0 = O,:.e l（d-e）解二（几何法）:如图2,因\d-te ^.\a-e \ 成立, 所以,:.e丄@一0)几何背景：直线(向量0所在直线)外的一点(〃的终点)与直线上的各点(巨的终 点)的连线中，垂线段最短。

文8)已知向量方=(x —5,3),乙=(2,工)，且方丄乙，则由/的值构成的集合是(C )（A）{2,3} （B）{-1,6} （C） {2} （D） {6}3. （06年理13）设向量Q ,b,c满足Q +万+ e = 0,（Q—万）丄丄方，若|Q|=1, 则适f +|万|2 +|纠2的值是 o解一（代数法）：在+ c = 6两边同乘以匝，得到矿+&・皿・e = o,所以Q・C =-1 ,又由（a-b）丄e得,a-c=b-c ,扌巴a + =0平方得，Bd2 ^b2 +c2 -}-2a •方+ 2方・0 + 2方・0 = 0 , 所 以 \d\2 +|阡 +|c |2=40解二（几何法）：如图3,由已知得MBC是等腰直角三 角形，角C是肓角，所以，\b\=\a\= 1,02=|科+|歼=2:.a2 + 沪 4-c2 =4几何背景：等腰直角三角形斜边上的高线=中线=斜边的一半文 5)设向量 a.b.c 满足 a+5 + c = 6,a 丄亦al=l,lbl=2,贝 iJlcF= ( D )(A)l (B)2 (C)4 (D)54. (07年理7)若非零向量7,亍满足\a^b\=\b\9则(C )A. \2a\>\2a + b\ B. \2a |<| 2a+h| C. \2b |>|a + 2&| D. \2b \<\a-^-2b\图4解一（代数法）：|2方|=2“|=|0 +和+ “罔0 + 2万|。

解二（儿何法）：如图4所示，由已知得AD=BD=DC 所以\ABC是直角三角形，角A是直角，所以BC>ACo即|纲〉” + 2引或者说,因AD + CD>AC,所以0 +万| + |万陰0 + 2万|几何背景：直角三角形中斜边大于直角边，两边之和大于第三边文9）若非零向量a,方满足\a-b\=\b\.则（A ）A. |2 方 |>|“一2方| B. |2方 |v|a — 2方| C. \2a |>| 2a-b\ D.| 加 |v|2a—方 |5. （08年理9）已知〃是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量e满足图5（d-c）-（b-c） = 09则同的最大值是（C ）(A) 1 (B) 2 (C) V2 (D)—2解一(代数法)：由(a-c).(ft-c) = O得，c2 "・e + b 4=6 ・@+B)=|e||Q + 5|cos0,又|匝+方『=匝2+方？+历.方=2,所以，|©|= Ji cos 0,其中&是向量0与向量Q +万的夹角，所以同的最大值是血解二（几何法）：如图5所示，由己知得AAOB是角0为直角的等腰育角三角形，直 角边长为1,斜边AB长为血，AACB是角C为直角的直角三角形，所以点0、C都在以AB为直径的圆上，所以弦0C的最大值是直径、伍。

几何背景：三角形的直角顶点在以斜边为直径的圆上，最长的弦是直径文16）已知a是平面内的单位向量,若向量〃满足b・（a-b） = Q,则|方|的取值范围是.[0,1] •6. （09年理7）设向量a,方满足| a |= 3,| b |= 4^-6 = 0 ,以a = 3上=4卫一b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（B ）（A） 3 （B） 4 （C） 5 （D） 6-〜 3 + 4-5解：根据勾股定理，S-方|=5，该三角形内切圆半径为r = =1,选B文 5)已知向量 a =(1,2), b =(2,-3).若向量 c 满足(c + a)//Z,c 丄(a + A),则c 二(D )7 7 7 7 7 7 7 7A. B. C. D.9 3 3 9 3 9 9 37. (10年理16)已知非零平面向量满足lBl=l，且方与B-匸的夹角为120则|和的取值范围是（0,由2R =ABsinC2V3，得 | a |g (0,2V3I解：如图6,点C在以长度为1的线段AB为弦且其内接角fi-a为60°的两段圆弧上所以，线段AC的最大值就是圆的肓径,几何背景：对定线段的视角为定角a （0< a < 180° ）的点的轨迹，是对称于定线段（所在直线）的两个圆弧， 以定线段为弦而其内接角等于a。

文13）已知平面向量满足|匸|=1,|歹|=2丄&-2万）,贝!]|27 + Bl的值是顷纵观七年试题特别是理科试题，题目虽然不同，难度也有差异，但是命题思路却是一 脉相承，每一道题祁隐含一个或儿个平血儿何定理，如果明白其儿何背景，结合图形根据 定理可以直观简练地求解问题二、教学启示向量既是代数的对彖，又是几何的对象作为代数对彖，向量可以进行运算作为几 何对象，向量有方向，可以刻呦肓线、平面等几何对象及其平行垂真的位置关系；向量有 长度，可以刻画长度、面积、体积等儿何度量问题运用向量刻画儿何对象和儿何度量问 题都是通过向量的代数运算来实现的因此，向量提供了一种通过代数运算刻画儿何对象 及其位置关系以及几何度量问题的工具向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥 梁向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想向量 也是代数群的数学模型，是进一步学习数学知识的基础此外向量还有许多物理背景，如 力、速度、位移等，所以向量还是重要的物理模型可见，向量是人们用来解决问题的一 种非常有用的工具浙江七年高考向量试题学生答得不好，根木原因是平时教学中偏重形式化的运算，许 多学生拿到这类题目首先是做代数运算而不去想几何意义，这类学生也就更不可能把几何 问题用向量解决。

教学中要“淡化形式，注重实质”，儿何意义是向量木质，把教学重心转移到“重视 向量运算的几何意义，多做几何问题向量化、向量运算几何化的互化探讨，以及在三角函 数、解析几何、立体几何、不等式等章节多做'向量化'的处理，真正把向量做为一-种工 具來使用，而不是做为一个符号、一做运算法则来学习。