2023年圆的定理及其证明.docx

2023年圆的定理及其证明 圆周角定理 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 证明： 情况1： 如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图1 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2： 如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时： 连接AO，并延长AO交⊙O于D 图2 ∵OA、OB、OC是半径 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3： 如图3，当圆心O在∠BAC的外部时： 图3 连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OC,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半径 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC） ∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） ∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圆心角等于180度的情况呢？ 看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB， 显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圆心角大于180度的情况呢？ 看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB， 只要延长CO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度 根据情况3同理可证：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根据情况1和情况3同理可证：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情况2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB 切线长定理 内容：切线长定理，是初等平面几何的一个定理。

在圆中，在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 证明： 欲证AC = AB，只需证△ABO≌ △ACO 如图，OC、OB为圆的两条半径，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 ∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L） ∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC [3] 弦切角定理 内容：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数 证明： 分三种情况 ： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆, ∴弧CmA的度数为180° ∵AB为圆的切线 ∴∠CAB=90° ∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 （2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点 E， 连接EC、ED、EA则 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圆O的直径 ∴∠DEA=90° ∵AB为圆的切线 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半 ∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 （3）圆心O在∠BAC的外部 过A作直径AD交⊙O于D，连接CD ∵AD是圆的直径 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圆O的切线 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。

∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 切割线定理 内容：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项与圆相交的直线是圆的割线切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系这是一个重要的定理，在解题中经常用到 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 证明： 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 图1 证明：连接AT， BT ∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT²=PB·PA 垂径定理 内容：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 证明： 如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE， 弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B ∵OA、OB是⊙O的半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC 圆的定理及其证明 圆幂定理及其证明 4个圆幂定理及其证明 大数定理及其证明 圆的有关证明相关定理 余弦定理及其证明 余弦定理公式的含义及其证明 正余弦定理的证明及其作用 第六讲勾股定理及其证明 圆幂定理 。