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第二章 介观环中加入磁场的输运特性2.1模型与基本公式Equation Chapter (Next) Section 1 对圆环的研究要追溯到 Aharonov 和 Bohm 发现了矢势在量子力学中的重要性［40］在介观尺度下，考虑一个两端由引线连 接的圆环，在圆环中心施加一磁通，在引线和圆环中磁场为零，但矢势不为零， 造成出射端有相位差，从而引起了量子干涉效应， 1959年由Aharonov和Bohm首先提出的，所以就称之为 AB效应，该磁通就称为 AB磁通，该圆环就称为 AB环AB效应于1985年由Akira. To no mura等人利用超导体禁闭磁通，从实 验中成功地证实了 Aharonov-Bohm效应另一类叫AC效应，类似AB效应，但 不同的是AC效应是由自旋轨道耦合引起的，该圆环就称为 AC环［41］近年来，对AB环的研究引起了广泛的关注，在理论［42］和试验上［43］都取得了进展针对AB环两端引线处于对称位置的输运问题有不少的文章对此作了报道 ［44-47］，本文主要是对右端引线处于不对称出射的 AB环进行研究，通过分析计算结果，讨论了磁通和右端引线的出射位置对输运系统的影响。

对于一个输运系统，电导决定其输运性能的优劣，通过研究发现不但施加的磁通可以影响该系统的电 导，而且出射端引线的位置对电导也有影响； 进一步把结果和不加磁通时的结果对比，并得出相应的结论我们研究的模型如图2-1所示，由半径为a的量子线组成的圆环，环上相对 两个节点通过引线与左右外界相连将其中的量子线分成四段，分别标记 0，1,2和3;属于圆环系统的量子散射冋题，电子由左端引线入射，经圆环系统后由右 端引线出射弓I线和圆环都置于 xy平面内，在圆环的中心以长直螺线管沿 z轴 正向施加磁通G，即Aharonov-Bohm型磁通在引线和圆环中磁场处处为零， 但磁通可以通过矢势影响电子的散射行为环量子输运模型的示意图(不对称出射)描述电子在圆环上运动的薛定谔方程为[47]12m談〕2(1-1)其中m和-e分别表示电子的质量和电荷，方二h 2二和c分别为普朗克常数和真空中的光速，A为矢势，E为入射电子的能量如图2-1所示，各个区段的波函数可分别设为：「n(X)=人* Bo^ikX , (1-2)Ae心Bf®J(f)=人』(皿 B2e」k(5,(1-4)( l1 、 ‘宙ut( X J = A^exp -i 号 J A df eikx, (1-5)I Ql 0 丿中电子波矢k *2mE力.，圆环周长I = h • 12，并且,AM L A,2( I 、e n -exp - i Ad f ,l叭 丿( I 、exp -i4 Adf , B^f)二 B.I出0 丿=甲inx=0 1£=0 2根据波函数连续性条件丄1 、(1-7)outX=0 j (1-8)将( 2-2) - (2-5)代入(2-7), (2-8)得到:1 B。

A B = A2eikl2 B2eJkl2 e」，(1-9)A1eikl1 Bq」"1 = A B2 = A3,(1-10)其中环路积分相位e 1 e二刖叫，1-11)2.2 AB环中几率流守恒公式的推导由粒子数守恒可得cP cJ「亍0(1-12)「-宇宇为概率密度，J代表几率流在圆环上系统的哈密顿量为丄*£+eA【2m I 戏 c丿，由含时薛定谔方程忙加可得,_ 1 『严 F i/je $ " i/je . £ . fe=2m 2、2Ah(cA"(1-14):t 2m f 2mc ¥ “a「 ” 『'eA〕¥,(1-15)2mc ' i/?2m c且有^心…-…“鑫3^16)〒二 _2m _2mc寸"_2mcA代入方程(2-13)有：讯=丹+叶空+丹jt ：：t ：：tih 一：2*一」A样一旦 AM"2mc 2mc 汀e . ■盒詁2小—-A TV2m dl- 2 e A — A；r2m 2mc 2mc i/i2m c "烽徐A叮5岁仲2mc前少河卜盏A評划、、、2m cl世_2m i cl*2m 巩 dl.u「2m2.+丹e „ 3乙刑+强12mcA "e ： e ?瓦「盂A疋)和-議A亍甲和,(1-17)进一步写成cP;:tjr 證护盏 AE ,(1-18)+2mc对比(2-12河知，几率流为—空+^A徑® —i方豊甲++eA甲甲+' 山 c ),(1-19)类似地，在两端引线上的哈密顿量与圆环上不同，其几率流可以写成-2m cf.(1-20)由于几率流守恒要求(尸中+i “in"X丄-- 'inXx =0孑弓2 •尹V 4川:^2 *尹行「2、 空： + eA 空 碰 c 是二 0,利用波函数的连续条件r,上式可以化简为十诈Ra長丄I +X^0(1-22)7-i ■ in j XX=0「沙 y(1-23)则有+X卫i产"；X"4(空応/十(1-24)"=0i孑甲+/+ 11txx=0 I以及(1-25)-inx.B',代入(2-22)式有=0,(1-26)所以B ： B =0时,且由(2-23)式可知B丄B，所以可以取B = 0。

有-i+ 1祁号+ eA長2x £ C•=i=0.(1-27)=0所以B =0是左端引线连接点的几率流守恒的充分条件，方程(2-27)即为Griffith 边界条件[48,49]类似地，我们可以求得右端引线连接点的 Griffith边界条件为1=0.(1-28)2.3问题求解由上述Griffith边界条件文xobxc+.■1P亠 — B— A + 0 十(A2e〒_2 — B2e±2CD」-©-Houol)ild ild—A3+(Ae 」—Ble 」)—A)+B2 np(r32)(20) (2二 0) (2—29) (200)日笳一9729)Hoooo)y+ BzA2e^2 + Bo)邑;(云4) H (1 十 Box亠 + Bo + A — 0 — ( A2e〒_2 — Bo)艮 2 )e」e H 2(r35)A —B2 —(&¥ — Be吉)+A£?36)>(2O3)M曲(2O4)M曰笳丄十0込— A A "占I 2isin(kh) - I 2isin(kh)-In 一2isin(k_2 ) 2isin(k_2)KA ( 2o5)Ma( 2O6)M曰笳T(k-2)十 sin(k-1)e AA3 I 町 n(k-)丄 sin(kh)sin( k-2) =1 + Bor2i sin(kh)sin( k-2)-(r39)sin(k-)—isin(kh)sin(5一2)7(「40) sin(k-2)+sin(kh)e_ -i2sin( kh)sin( k-2) sin(k-2)+e- sin(kh) ‘ ' ‘ ' rsin2(k-2) +Sin2(kh ) +2sin( kh)sin( k-2)cos 0 I kin(k-)丄 sin(kh)sin( k-2二匕4)Bo =sin2(kl2) +sin2(klj +2sin( kl1 )sin( kl2)cos © - Bin(kl) —i sin(kljsin( kl2)](1-42)可以进一步化简：si n(kl 七 (1_43)cosk(l2-h) l-5cos”k l2 h i 亠 4isi n ”k l2 h「亠 4coscos [k(h「l2) h：； 3cos ||k h l2 J「4cos透射率为:T =A3 A16”2sin(kljsin( kl2)cos 亠sin2(klj sin2(kl2)cos2 ||k h -l2 I 10cos || k h-l2 ：lcos||k l1 - l^ 亠 8cos||k h-Jjcos，-40cos || k h l2 ： bos 9cos21| k h l2 J 16cos2 16(1-45)反射率为:icosk^-12)卜:;3cos||k l1 l2 -4cos /cos21|k h - I? - 10cos||k h -I? ：lcos||k h I2 i 亠8cos||k -40cos||k h l2〕lcos 9cos2 ||k l1 l216cos2 16(1-46)可以验证R T =1令:二k h I2 ,亠k h J，可得16 1 - cos： -cos： cos -cos： cos：cos P -10cosa cos 卩 +8cos P cos© -40cosa cos© +9cos2a +16cos2© +16(1-47)bcosG + cos P - 4cos e fR - - —cos2 卩-10cosa cosP +8cos P cos© -40cosa cos$ +9cos2。

16cos2© +16(1-48)如果h =12，贝「=0, (2-47)和(2-48)式可以简化为：4i si n(®2)(1+e询1 3cos ： - 4cos '■A , B0 ,(1-49)1-5cos t " 4i sin_：i 】 4cos 1-5cos t " 4i si n t " 4cos如果左右引线处于对称位置，即h ，并且没有磁场，即门=0,上述结果还可以进一步简化为3i sin(： 2)A3 一 4COS(: 2) —i5sin(: 2) ' 4cos(: 2) —i5sin(: 2)，(1-50)根据Landauer-Buttiker公式［50,51］,利用(2-47)还可以计算零偏压下圆环系统的电导为,(1-51)令Go二16 1 - cos： -cos： cos -cos： cos。