抽象函数的性质及其经典例题.doc

抽象函数的性质及其金典例题函数的周期性：1、定义在*∈R上的函数y=f(*)，满足f(*+a)=f(*-a)〔或f(*-2a)=f(*)〕(a>0)恒成立，则y=f(*)是周期为2a的周期函数；2、假设y=f(*)的图像关于直线*=a和*=b对称，则函数y=f(*)是周期为2|a-b|的周期函数；3、假设y=f(*) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(*)是周期为2|a-b|的周期函数；4、假设y=f(*) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴*=b〔a≠b〕，则函数y=f(*)是周期为4|a-b|的周期函数；5、假设函数y=f(*)满足f(a+*)=f(a-*)，其中a>0，且如果y=f(*)为奇函数，则其周期为4a；如果y=f(*)为偶函数，则其周期为2a；6、定义在*∈R上的函数y=f(*)，满足f(*+a)=-f(*)，则y=f(*)是周期为2|a|的周期函数；7、假设在*∈R恒成立，其中a>0，则y=f(*)是周期为4a的周期函数；8、假设在*∈R恒成立，其中a>0，则y=f(*)是周期为2a的周期函数函数图像的对称性：1、假设函数y=f(*)满足f(a+*)=f(b-*)，则函数y=f(*)的图像关于直线对称；2、假设函数y=f(*)满足f(*)=f(2a-*)或f(*+a)=f(a-*)，则函数y=f(*)的图像关于直线*=a对称；3、假设函数y=f(*)满足f(a+*)+f(b-*)=c，则y=f(*)的图像关于点成中心对称图形；4、曲线f(*,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-*,2b-y)=0；5、形如的图像是双曲线，由常数别离法知：对称中心是点；6、设函数y=f(*)定义在实数集上，则y=f(*+a)与y=f(b-*)的图像关于直线对称；7、假设函数y=f(*)有反函数，则y=f(a+*)和y=f -1(*+a)的图像关于直线y=*+a对称。

含有函数记号“〞有关问题解法由于函数概念比拟抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这局部知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证*些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力例1： ,求.解：设,则∴∴2.凑合法：在的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法 例2：，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由条件，定出关系式中的未知系数例3． 二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比拟系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.=为奇函数,当 >0时,,求解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式∵->0,∴,∵为奇函数，∴∴当<0时∴例5．一为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,不妨用-代换+=………①中的,∴即－……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求解：∵的定义域为N，取=1,则有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 ,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。

证明：令=0, 则等式变为……①在①中令=0则2=2∵≠0∴=1∴∴∴为偶函数2.确定参数的取值围例8：奇函数在定义域〔-1，1〕递减，求满足的实数的取值围解：由得，∵为函数，∴又∵在〔-1，1〕递减，∴3.解不定式的有关题目 例9：如果=对任意的有,比拟的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五类抽象函数解法　　1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数例1、函数f〔*〕对任意实数*，y，均有f〔*＋y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，且当*＞0时，f〔*〕＞0，f〔－1〕＝－2，求f〔*〕在区间[－2，1]上的值域分析：由题设可知，函数f〔*〕是的抽象函数，因此求函数f〔*〕的值域，关键在于研究它的单调性解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f〔*〕为增函数在条件中，令y＝－*，则，再令*＝y＝0，则f〔0〕＝2 f〔0〕，∴f〔0〕＝0，故f〔－*〕＝f〔*〕，f〔*〕为奇函数，∴f〔1〕＝－f〔－1〕＝2，又f〔－2〕＝2 f〔－1〕＝－4，∴f〔*〕的值域为［－4，2］。

例2、函数f〔*〕对任意，满足条件f〔*〕＋f〔y〕＝2 + f〔*＋y〕，且当*＞0时，f〔*〕＞2，f〔3〕＝5，求不等式的解 分析：由题设条件可猜测：f〔*〕是y＝*＋2的抽象函数，且f〔*〕为单调增函数，如果这一猜测正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解 解：设，∵当，∴，则， 即，∴f〔*〕为单调增函数 ∵， 又∵f〔3〕＝5，∴f〔1〕＝3∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a< 32、指数函数型抽象函数例3、设函数f〔*〕的定义域是〔－∞，＋∞〕，满足条件：存在，使得，对任何*和y，成立求：〔1〕f〔0〕； 〔2〕对任意值*，判断f〔*〕值的正负分析：由题设可猜测f〔*〕是指数函数的抽象函数，从而猜测f〔0〕＝1且f〔*〕＞0解：〔1〕令y＝0代入，则，∴假设f〔*〕＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f〔*〕≠0，∴f〔0〕＝1〔2〕令y＝*≠0，则，又由〔1〕知f〔*〕≠0，∴f〔2*〕＞0，即f〔*〕＞0，故对任意*，f〔*〕＞0恒成立例4、是否存在函数f〔*〕，使以下三个条件：①f〔*〕＞0，*∈N；②；③f〔2〕＝4同时成立.假设存在，求出f〔*〕的解析式，如不存在，说明理由。

分析：由题设可猜测存在，又由f〔2〕＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：〔1〕*＝1时，∵，又∵*∈N时，f〔*〕＞0，∴，结论正确〔2〕假设时有，则*＝k＋1时，，∴*＝k＋1时，结论正确综上所述，*为一切自然数时3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数例5、设f〔*〕是定义在〔0，＋∞〕上的单调增函数，满足，求：〔1〕f〔1〕；〔2〕假设f〔*〕＋f〔*－8〕≤2，求*的取值围分析：由题设可猜测f〔*〕是对数函数的抽象函数，f〔1〕＝0，f〔9〕＝2解：〔1〕∵，∴f〔1〕＝0〔2〕，从而有f〔*〕＋f〔*－8〕≤f〔9〕，即，∵f〔*〕是〔0，＋∞〕上的增函数，故，解之得：8＜*≤9例6、设函数y＝f〔*〕的反函数是y＝g〔*〕如果f〔ab〕＝f〔a〕＋f〔b〕，则g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕是否正确，试说明理由分析: 由题设条件可猜测y＝f〔*〕是对数函数的抽象函数，又∵y＝f〔*〕的反函数是y＝g〔*〕，∴y＝g〔*〕必为指数函数的抽象函数，于是猜测g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕正确解：设f〔a〕＝m，f〔b〕＝n，由于g〔*〕是f〔*〕的反函数，∴g〔m〕＝a，g〔n〕＝b，从而，∴g〔m〕·g〔n〕＝g〔m＋n〕，以a、b分别代替上式中的m、n即得g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕。

4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数例7、己知函数f〔*〕的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f〔a〕＝－1〔a＞0，a是定义域中的一个数〕；③当0＜*＜2a时，f〔*〕＜0试问：〔1〕f〔*〕的奇偶性如何.说明理由〔2〕在〔0，4a〕上,f〔*〕的单调性如何.说明理由分析: 由题设知f〔*〕是的抽象函数，从而由及题设条件猜测：f〔*〕是奇函数且在〔0，4a〕上是增函数〔这里把a看成进展猜测〕解：〔1〕∵f〔*〕的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，∴在定义域中∵，∴f〔*〕是奇函数〔2〕设0＜*1＜*2＜2a，则0＜*2－*1＜2a，∵在〔0，2a〕上f〔*〕＜0，∴f〔*1〕，f〔*2〕，f〔*2－*1〕均小于零，进而知中的，于是f〔*1〕＜f〔*2〕，∴在〔0，2a〕上f〔*〕是增函数又，∵f〔a〕＝－1，∴，∴f〔2a〕＝0，设2a＜*＜4a，则0＜*－2a＜2a，，于是f〔*〕＞0，即在〔2a，4a〕上f〔*〕＞0设2a＜*1＜*2＜4a，则0＜*2－*1＜2a，从而知f〔*1〕，f〔*2〕均大于零f〔*2－*1〕＜0，∵，∴，即f〔*1〕＜f〔*2〕，即f〔*〕在〔2a，4a〕上也是增函数。

综上所述，f〔*〕在〔0，4a〕上是增函数5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数 例8、函数f〔*〕对任意实数*、y都有f〔*y〕＝f〔*〕·f〔y〕，且f〔－1〕＝1，f〔27〕＝9，当时，〔1〕判断f〔*〕的奇偶性；〔2〕判断f〔*〕在［0，＋∞〕上的单调性，并给出证明；〔3〕假设，求a的取值围分析：由题设可知f〔*〕是幂函数的抽象函数，从而可猜测f〔*〕是偶函数，且在［0，＋∞〕上是增函数解：〔1〕令y＝－1，则f〔－*〕＝f〔*〕·f〔－1〕，∵f〔－1〕＝1，∴f〔－*〕＝f〔*〕，f〔*〕为偶函数〔2〕设，∴，，∵时，，∴，∴f〔*1〕＜f〔*2〕，故f〔*〕在0，＋∞〕上是增函数〔3〕∵f〔27〕＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数容的难点之一本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 函数的定义域是［1，2］，求f(*)的定义域解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(*)的定义域是［1，4］评析：一般地，函数的定义域是A，求f(*)的定义域问题，相当于中*的取值围为A，据此求的值域问题。

例2. 函数的定义域是，求函数的定义域解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：函数f(*)的定义域是A，求函数的定义域正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键这类问题实质上相当于的值域B，且，据此求*的取值围例2和例1形式上正相反二、求值问题例3. 定义域为的函数f(*)，同时满足以下条件：①；②，求f(3)，f(9)的值解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把条件与欲求的f(3)沟通了起来赋值法是解此类问题的常用技巧三、值域问题例4. 设函数f(*)定义于实数集上，对于任意实数*、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域解：令，得，即有或假设，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析。