三角形、梯形、平行四边形.pdf

三角形三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形三角形分类三角形分类(1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于 90 度 并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边 三角形也是锐角三角形 b.直角三角形（简称 Rt 三角形）：有一个角等于 90 度 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角 形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30° c.钝角三角形：有一个角大于 90 度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形) d.证明全等时可用 HL 方法 （2）按边分 不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）解直角三角形：解直角三角形：勾股定理，只适用于直角三角形222cba=+其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边，c 为斜边 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数比如：3，4，5他们分别是 3，4 和 5 的倍 数 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5，12，13 等等.解斜三角形解斜三角形在三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 则有 （1）正弦定理rCc BB Aa2sinsinsin=== (外接圆半径为 r)（2）余弦定理Abccbacos2222−+=bcacbA2cos222−+=Baccabcos2222−+=acbccB2cos222−+=Cabbaccos2222−+=abcbaC2cos222−+=三角形的性质三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于 180 度 证明方法： 方法 1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，求出内角和为 180° 方法 2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为 180° 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有下面关系（222cba=+）那么这个三角形就一定是直角三角形 5.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之 和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 7.一个三角形最少有 2 个锐角 8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 9.三角形的外角和是 360° 10.等底等高的三角形面积相等 11.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比 12.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的 3/4 13.在△ABC 中恒满足： CBACBAtantantantantantan++=⋅⋅14.全等三角形对应边相等，对应角相等。

15.三角形的中心在三条中线的交点上 16 在三角形中至少有一个角大于等于 60 度，也至少有一个角小于等于 60 度三角形的心、圆、点、线三角形的心、圆、点、线心：名称定义重心 S三条中线(顶点到对边中点连线)的交点垂心 P三条高(顶点到对边的垂线)的交点内心 Q三条内角平分线的交点外心 R三边中垂线的交点重心 S、垂心 P、外心 R 在一条直线上（欧拉线）圆：名称定义内切圆以内心为圆心， 以内心到边的距离为半径的 圆，与三角形三边都相切外接圆以外心到顶点的距离为半径的圆， 三角形三 个顶点都在圆周上欧拉圆 （九点圆）三角形的三个高的垂足、 三条边的中点和三 个欧拉点在一个圆上 欧拉圆的半径等于外接圆半径的一半， 和内 切圆在一个欧拉点相切 欧拉圆的圆心 O 在欧拉线上欧拉点：三角形顶点和垂心连接的线段的中点三角形中的线段三角形中的线段中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形的面积. 高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的 线段），叫做三角形的高 角平分线：平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线,它到两边距离相等注:一个角 的平分线是射线,平分线的所在直线是这个角的对称轴) 中位线：任意两边中点的连线。

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．三角形的边角之间的关系三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于 180°（在球面上，三角形内角之和大于 180°）； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； （4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9） 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 1/2 （12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角 注意: ① 三角形的内心、重心都在三角形的内部 ② 钝角三角形垂心、外心在三角形外部 ③ 直角三角形垂心、外心在三角形的边上（垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

④ 锐角三角形垂心、外心在三角形内部特殊三角形特殊三角形1.相似三角形 （1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 （2）相似三角形性质 相似三角形对应边成比例，对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比 若 a、b、b、c 成比例，即 a:b=b:c，则称 b 是 a 和 c 的比例中项 （3）相似三角形的判定 【1】三边对应成比例则这两个三角形相似 【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似 【3】两角对应相等则两三角形相似 2.全等三角形 （1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质 全等三角形对应角（边）相等 全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等；并且全等三角形能重合 （3）全等三角形的判定： ① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT 三角形)】 注：注：SSASSA 不能判定三角形全等！不能判定三角形全等！只有三个角相等只有三个角相等也不能判定也不能判定两个三角形全等两个三角形全等！！寻找全等三角形的对应角、对应边常用方法： 3.等腰三角形 等腰三角形的性质： （1）两底角相等； (2) 两条腰相等 ； （3）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； 等腰三角形的判定： （1）等角对等边； （2）两底角相等； （巧用：在特定题目中，等腰三角形，平行，角平分线这三量，知二可推另一）4.等边三角形 等边三角形的性质： （1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； （2）等边三角形的各角都相等，并且都等于 60°。

等边三角形的判定： （1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形.三角形的面积公式三角形的面积公式ahS21= （a是三角形的底，h是底所对应的高）CabAbcBacsin21sin21sin21=== （三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为 a,b,c）()()()cpbpapp−−−=()cbap++=21Rabc 4= (R 是外接圆半径)()rcba++=21(r 是内切圆半径)()BABAc+⋅=sin2sinsin2梯形梯形梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形 平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的 高一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形等腰梯形 是一种特殊的梯形，其判 定方法与等腰三角形判定方法类似等腰梯形的性质等腰梯形的性质1．等腰梯形的两条腰相等 2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等 3．等腰梯形的两条对角线相等 4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线 5．等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二 分之一 注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长 的底叫做下底。

判定判定1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形） 2．两腰相等的梯形是等腰梯形 3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 4．有一个内角是直角的梯形是直角梯形 5．对角线相等的梯形是等腰梯形． 6．梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底周长、面积周长、面积梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2 等腰梯形面积公式： 中位线×高 用字母表示：()hba×+21或hl⋅梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰用字母表示：dcba+++ 等腰梯形的周长公式：上底+下底+2 腰用字母表示：cba2++ 对角线互相垂直的梯形：对角线×对角线÷2常用辅助线常用辅助线1．作高（无数条，根据实际题目确定） 2．平移一腰 3．平移对角线 4．延长两腰交于一点 5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长 6． 取两底中点，过一底中点做两腰的平行线典型例题剖析典型例题剖析例 1、如图，△ABC 中，AB=AC，BD、CE 分别为∠ABC、∠ACB 的平分线．求证：四边形 EBCD 是等腰梯 形． 分析：欲证四边形 EBCD 是等腰梯形，解题思路是证 ED//BC，BE=CD，由已知条件易证△BCD≌△CBE 得到 EB=DC，从而 AE=AD，运用等腰三角形的性质可证 ED//BC． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DBC=∠ECB=∠ABC，∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BE=CD， ∴AB－BE=AC－CD，即 AE=AD． ∴∠ABC=∠AED=，∴ED//BC， 又∵EB 与 DC 交于点 A，即 EB 与 DC 不平行， ∴四边形 EBCD 是梯形，又 BE=DC， ∴四边形 EBCD 是等腰梯形． 点评：本题的解题关键是证明 ED//BC，EB=DC，易错点是忽视证明 EB 与 DC 不平行． 例 2、如图，已知四边形 ABCD 中，AB=DC，AC=DB，AD≠BC．求证：四边形 ABCD 是等腰梯形． 证明：过点 A 作 AE∥DC 交 BC 边于点 E． ∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB 又 AE∥DC，∴∠AEB=∠DCB ∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴． ∴四边形 AECD 是平行四边形． ∴AD∥BC． 又 AB=DC，且 AD≠BC， ∴四边形 ABCD 为等腰梯形．点评： 判定一个任意四边形为等腰梯形，如果不能直接运用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通过作辅助 线，将此四边形分解为熟悉的多边形，此例就是通过作平行线，将四边形分解成为一个平行四边形和一个 等腰三角形． 例 3、如图，P 为等腰梯形 ABCD 的下底 BC 上一点，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N 为垂足，BE⊥CD，E 为垂 足．求证：BE=PM＋PN． 证明：过 P 点作 PH⊥BE 于点 H． ∵BE⊥CD，PN⊥CD， ∴四边形 PHEN 是矩形．∴HE=PN，EN∥PH． ∴∠BPH=∠C． ∵四边形 ABCD 为等腰梯形， ∴∠ABC=∠C． ∴∠MBP=∠HPB． 又 PM。