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第第 2 章章模糊聚类分析模糊聚类分析§2.1 模糊矩阵模糊矩阵 定义定义1 设设R = (rij)m×n，，若若0≤rij≤1，，则称则称R为为模模糊矩阵糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔布尔(Boole)矩矩阵阵. 当模糊方阵当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素的对角线上的元素rii都都为为1时，称时，称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵.定义定义2 设设A=(aij)m×n, ,B=(bij)m×n都都是模糊矩阵，是模糊矩阵，相等相等：：A = B  aij = bij；；包含包含：：A≤B  aij≤bij；；并并：：A∪∪B = (aij∨∨bij)m×n；；交交：：A∩B = (aij∧∧bij)m×n；；余余：：Ac = (1- - aij)m×n.模糊矩阵的并、交、余运算性质模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：幂等律：A∪∪A = A，，A∩A = A；；交换律：交换律：A∪∪B = B∪∪A，，A∩B = B∩A；；结合律：结合律：(A∪∪B)∪∪C = A∪∪(B∪∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；；吸收律：吸收律：A∪∪(A∩B) = A，，A∩(A∪∪B) = A；； 分配律：分配律：(A∪∪B)∩C = (A∩C )∪∪(B∩C)；； (A∩B)∪∪C = (A∪∪C )∩(B∪∪C)；；0-10-1律：律： A∪∪O = A，，A∩O = O；； A∪∪E = E，，A∩E = A；；还原律：还原律：(Ac)c = A；；对偶律：对偶律： (A∪∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪∪Bc.模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设设A = (aik)m×s，，B = (bkj)s×n，，定义模糊矩阵定义模糊矩阵A 与与B 的合成为：的合成为：A ° B = (cij)m×n，，其中其中cij = ∨∨{(aik∧∧bkj) | 1≤k≤s} .模糊方阵的幂模糊方阵的幂 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A ° A，，A3 = A2 ° A，，…，，Ak = Ak- -1 ° A.合成合成(° )运算的性质：运算的性质：性质性质1：：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；；性质性质2：：Ak ° Al = Ak + l，，(Am)n = Amn；；性质性质3：：A ° ( B∪∪C ) = ( A ° B )∪∪( A ° C )；； ( B∪∪C ) ° A = ( B ° A )∪∪( C ° A )；；性质性质4：：O ° A = A ° O = O，，I ° A=A ° I =A；；性质性质5：：A≤B，，C≤D  A ° C ≤B ° D.注：合成注：合成(° )运算关于运算关于(∩)的分配律不成立，即的分配律不成立，即( A∩B ) ° C   ( A ° C )∩( B ° C )( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C )( A∩B ) ° C   ( A ° C )∩( B ° C )模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置 定义定义 设设A = (aij)m×n, 称称AT = (aijT )n×m为为A的转的转置矩阵，其中置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：：( AT )T = A；；性质性质2：：( A∪∪B )T = AT∪∪BT，， ( A∩B )T = AT∩BT；；性质性质3：：( A ° B )T = BT ° AT；；( An )T = ( AT )n ；；性质性质4：：( Ac )T = ( AT )c ；；性质性质5：：A≤B  AT ≤BT .证明性质证明性质3：：( A ° B )T = BT ° AT；；( An )T = ( AT )n .证明证明：设：设A=(aij)m×s, B=(bij)s×n, A °B=C =(cij)m×n, 记记( A ° B )T = (cijT )n×m , AT = (aijT )s×m , BT = (bijT )n×s , 由转置的定义知由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT ° AT= [∨∨(bikT∧∧akjT )]n×m =[∨∨(bki∧∧ajk)]n×m =[∨∨(ajk∧∧bki)]n×m = (cji)n×m = (cijT )n×m= ( A ° B )T . 模糊矩阵的模糊矩阵的  - - 截矩阵截矩阵 定义定义7 设设A = (aij)m×n,对任意的对任意的 ∈∈[0, 1]，，称称A = (aij( ))m×n,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的  - - 截矩阵截矩阵, 其中其中 当当aij≥  时，时，aij( ) =1；；当当aij＜＜  时，时，aij( ) =0. 显然，显然，A的的  - - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 对任意的对任意的 ∈∈[0, 1]，有，有性质性质1：：A≤B  A  ≤B ；；性质性质2：：(A∪∪B)  = A ∪∪B ，，(A∩B)  = A ∩B ；；性质性质3：：( A ° B )  = A  ° B ；；性质性质4：：( AT )  = ( A  )T.下面证明性质下面证明性质1：： A≤B  A  ≤B  和性质和性质3.性质性质1的证明：的证明： A≤B  aij≤bij；；当当  ≤aij≤bij时，时， aij( ) =bij( ) =1；；当当aij＜＜  ≤bij时，时， aij( ) =0, bij( ) =1；；当当aij≤bij＜＜ 时，时， aij( ) = bij( ) =0；；综上所述综上所述aij( )≤bij( )时时，， 故故A  ≤B  .性质性质3的证明：的证明：设设A=(aij)m×s, B=(bij)s×n, A °B=C =(cij)m×n,cij( ) =1 cij≥  ∨∨(aik∧∧bkj)≥  k, (aik∧∧bkj)≥  k, aik ≥  , bkj≥  k, aik( ) =bkj( ) =1  ∨∨(aik( )∧∧bkj( ))=1cij( ) =0 cij＜＜  ∨∨(aik∧∧bkj)＜＜  k, (aik∧∧bkj)＜＜  k, aik＜＜  或或 bkj＜＜  k, aik( ) =0或或bkj( ) =0 ∨∨(aik( )∧∧bkj( ))=0所以所以, cij( ) =∨∨(aik( )∧∧bkj( )).( A ° B )  = A  ° B  .§2.2 模糊关系模糊关系 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广. . 设有论域设有论域X，，Y，，X   Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系. 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R : X   Y [0,1].并称隶属度并称隶属度R (x , y ) 为为 (x , y )关于模糊关系关于模糊关系 R 的相关程度的相关程度. 特别地，当特别地，当 X =Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系.模糊关系的运算模糊关系的运算 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X   Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，，R1，，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：：R1= R2  R1(x, y) = R2(x, y)；；包含包含：： R1  R2  R1(x, y)≤R2(x, y)；；并并：： R1∪∪R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1∪∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨∨R2(x, y)；；交交：： R1∩R2 的隶属函数为的隶属函数为(R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧∧R2(x, y)；；余余：：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- - R(x, y). (R1∪∪R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1或或者者R2”的相关程度，的相关程度， (R1∩R2 )(x, y)表示表示(x, y)对对模糊关系模糊关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc (x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X = {x1, x2, …… , xm}和和Y = { y1, y2, …… , yn}，，则则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用m×n 阶阶模糊矩阵表示，即模糊矩阵表示，即R = (rij)m×n，，其中其中rij = R (xi , yj )∈∈[0, 1]表示表示(xi , yj )关于模糊关于模糊关系关系R 的相关程度的相关程度. . 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, ,则关系则关系R为普通关系为普通关系, ,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), ,要么没有关系要么没有关系( rij = 0 ). 例例 设身高论域设身高论域X ={140, 150, 160, 170, 180} (单位：单位：cm), 体重论域体重论域Y ={40, 50, 60, 70, 80}(单位：单位：kg), ,下表给出了身高与体重的模糊关系下表给出了身高与体重的模糊关系. .405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊关系的合成模糊关系的合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的合成的合成 R1 ° R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1°R2) (x, z) = ∨∨{[R1 (x, y)∧∧R2 (y, z)]| y∈∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成. 设设X = {x1, x2, ……, xm}, Y = { y1 , y2 , …… , ys}, Z= {z1, z2, …… , zn}，，且且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1 = (aik)m×s，，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2 = (bkj)s×n，，则则X 到到Z 的的模糊模糊关系可表示为关系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 ° R2 = (cij)m×n，，其中其中cij = ∨∨{(aik∧∧bkj) | 1≤k≤s}.模糊关系合成运算的性质模糊关系合成运算的性质性质性质1：：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；； 性质性质2：：A ° ( B∪∪C ) = ( A ° B )∪∪( A ° C )；； ( B∪∪C ) ° A = ( B ° A )∪∪( C ° A )；；性质性质3：：( A ° B )T = BT ° AT；；性质性质4：：A   B，，C   D  A ° C   B ° D.注：注：(1) 合成合成(° )运算关于运算关于(∩)的分配律不成立的分配律不成立, ,即即( A∩B ) ° C   ( A ° C )∩( B ° C ) (2) 这些性质在有限论域情况下这些性质在有限论域情况下, ,就是模糊矩就是模糊矩阵合成运算的性质阵合成运算的性质.§2.3 模糊等价矩阵模糊等价矩阵模糊等价关系模糊等价关系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足： (1) (1)自反性：自反性：R(x, x) =1；； (2) (2)对称性：对称性：R(x, y) =R(y, x)；； (3) (3)传递性：传递性：R2 R, 则称则称模糊关系模糊关系R是是X上上的一个的一个模糊等价关系模糊等价关系. . 当论域当论域X = {x1, x2, ……, xn}为有限时为有限时, X 上的上的一个一个模糊等价关系模糊等价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵, 即即R满足：满足：I ≤R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2≤R.R2≤R ( ∨∨{(rik∧∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .模糊等价矩阵的基本定理模糊等价矩阵的基本定理 定理定理1 若若R具有自反性具有自反性(I≤R)和传递性和传递性(R2≤R), 则则 R2 = R. 定理定理2 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则则对任意对任意 ∈∈[0, 1]，，R 是等价的是等价的Boole矩阵矩阵.  ∈∈[0,1]，，A≤BA ≤B ；；(A°B) =A °B ；；( AT )  = ( A )T 证明如下：证明如下： (1) (1)自反性：自反性：I≤R ∈∈[0,1]，，I ≤R     ∈∈[0,1]，，I ≤R ，，即即R 具有具有自反性；自反性； (2) (2)对称性对称性：：RT = R (RT)  = R   (R )T = R ，，即即R 具有具有对称性；对称性； (3) (3)传递性传递性：：R2≤R(R )2≤R ，，即即R 具有具有传传递性递性. . 定理定理3 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵,则对任意则对任意的的0≤ ＜＜ ≤1, R  所决定的分类中的每一个所决定的分类中的每一个类是类是R 决定的分类中的某个类的子类决定的分类中的某个类的子类. 证明：对于论域证明：对于论域 X = {x1, x2, …, xn}，，若若 xi , xj 按按R 分在一类，则有分在一类，则有rij( ) = 1  rij≥   rij≥    rij( ) =1，，即若即若 xi , xj 按按R 也分在一类也分在一类. 所以，所以，R  所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的每一个类是R  决决定的分类中的某个类的子类定的分类中的某个类的子类.模糊相似关系模糊相似关系 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的上各元素之间的模糊关模糊关系，且满足：系，且满足： (1) 自反性：自反性：R( x , x ) = 1；； (2) 对称性：对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ；； 则称则称模糊关系模糊关系 R 是是 X 上的一个上的一个模糊相似关系模糊相似关系. 当论域当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时，为有限时，X 上的上的一个一个模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即就是模糊相似矩阵，即R满满足：足： (1) 自反性：自反性：I ≤R ( rii =1 )；； (2) 对称性：对称性：RT = R ( rij = rji ).模糊相似矩阵的性质模糊相似矩阵的性质 定理定理1 若若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自是模糊相似矩阵，则对任意的自然数然数 k，，Rk 也是模糊相似矩阵也是模糊相似矩阵. 定理定理2 若若R 是是n阶模糊相似矩阵，则存在一阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数个最小自然数 k (k≤n )，，对于一切大于对于一切大于k 的自然的自然数数 l，，恒有恒有Rl = Rk，，即即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称此时称Rk为为R的传递闭包，记作的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包平方法求传递闭包 t (R)：：RR2R4R8R16…§2.4 模糊聚类分析模糊聚类分析数据标准化数据标准化 设论域设论域X = {x1, x2, …, xn}为被分类对象为被分类对象, ,每每个对象又由个对象又由m个指标表示其形状个指标表示其形状: :xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n于是于是, ,得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为平移平移 • 标准差变换标准差变换其中其中平移平移 • 极差变换极差变换模糊相似矩阵建立方法模糊相似矩阵建立方法相似系数法相似系数法 ----夹角余弦法夹角余弦法相似系数法相似系数法 ----相关系数法相关系数法其中其中距离法距离法rij = 1 – c d (xi, xj )其中其中c为适当选取的参数为适当选取的参数.海明距离海明距离欧氏距离欧氏距离切比雪夫距离切比雪夫距离d (xi, xj ) = ∨∨{ | xik- - xjk | , 1≤k≤m}Boole矩阵法：矩阵法： 定理：设定理：设 R 是论域是论域 X = {x1, x2, …, xn}上的上的一个相似的一个相似的 Boole 矩阵，则矩阵，则 R 具有传递性具有传递性 (当当R是等价是等价Boole矩阵时矩阵时)  矩阵矩阵 R 在任一排列下的在任一排列下的矩阵都没有形如矩阵都没有形如的特殊子矩阵的特殊子矩阵.Boole矩阵法的步骤如下：矩阵法的步骤如下：(1)求模糊相似矩阵的求模糊相似矩阵的  - -截矩阵截矩阵R  ；；(2) 若若R 在某一排列下的矩阵有形如在某一排列下的矩阵有形如的特殊子矩阵的特殊子矩阵, ,则将则将R  中上述特殊形式子矩阵的中上述特殊形式子矩阵的0改为改为1，直到在任一排列下，直到在任一排列下R 中不再产生上述特殊中不再产生上述特殊形式子矩阵为止形式子矩阵为止.最佳分类的确定最佳分类的确定 在模糊聚类分析中，对于各个不同的在模糊聚类分析中，对于各个不同的 ∈[0,1]∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的情况是比较形象和直观的. . 但在许多实际问题中，需要给出样本但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题佳分类的问题. . 设设X = (xij)n×m为为n个元素个元素m个指标的原始数据个指标的原始数据矩阵矩阵. 为总体样本的中心向量为总体样本的中心向量. 对应于对应于  值的分类数为值的分类数为r，，第第 j 类的样本数为类的样本数为nj，，第第 j 类的样本标记为类的样本标记为第第 j 类样本的中心向量为类样本的中心向量为作作F- - 统计量：统计量： 如果满足不等式如果满足不等式F＞＞F  ( r - -1, n - -r )的的F值不值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差或者进一步考查差 ( F - - F  )/F  的大小，从较大的大小，从较大者中找一个满意的者中找一个满意的F值即可值即可. 实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类比较满意的分类. .。